Теорема о разложении функции по переменным

Пусть f(x₁,..., x_n) Î P₂. Тогда для любого m: 1 ≤ m ≤ n допустимо представление:

f(x₁,..., x_m, x_m+1,..., x_n) = ,

где дизъюнкция берется по всем наборам из 0 и 1. Это представление называется разложением функции f по переменным x ₁,..., x_n.

Прежде чем доказать утверждение, рассмотрим примеры.

Пример 1. m = 1, запишем разложение по переменным х:

f (x ₁,..., x_n) = = f (0, x ₂ , …, x_n)Ú x ₁ f (1, x ₂,..., x_n). (1)

Пример 2. m =2, запишем разложение по переменным х и :

f (x ₁, x ₂,… x _n) = =

.

Если f (x ₁, x ₂) = x ₁ Å x ₂, то последняя формула дает x ₁ Å x ₂ = x ₂Ú x ₁ .

Доказательство. Для доказательства возьмем произвольный набор (a ₁,..., a _n) и покажем, что левая и правая части формулы (1) принимают на этом наборе одинаковые значения. Слева имеем f (a ₁,..., a_n). Cправа: .

Дизъюнкция берется по всевозможным наборам (s ₁,..., s_m). Если в этих наборах хотя бы одно s_i ¹ a_i (1≤ i ≤ m), то = 0 и , следовательно, ненулевой член будет только на наборе (s ₁,..., s_m) = (a ₁,..., a_m), тогда f (a ₁,..., a_n).

Следствие 1. Любую функцию f(x₁,..., x_n) не равную тождественно нулю можно представить в виде: , причём единственным образом. Этот вид называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой функции f(x₁,..., x_n) и записывается СДНФ.

Доказательство. Существование СДНФ для функции не равной тождественно нулю вытекает из предыдущей теоремы. Покажем, что эта СДНФ единственная. В самом деле, имеется n -местных функций, не равных нулю тождественно. Подсчитаем число различных СДНФ от n переменных. Путь означает число сочетаний из n элементов по k. Тогда число одночленных СДНФ равно . Число k -членных СДНФ равно . Число n -членных СДНФ равно . Число всех различных СДНФ

Итак, функций реализуются посредством СДНФ, т.е. каждой функции соответствует единственная СДНФ.

Замечание. – элементарная конъюнкция ранга n по числу входящих переменных, предполагается, что при i ¹ j, х_i ¹ х_j. СДНФ для f (x₁,..., x_n) – дизъюнкция элементарных конъюнкций ранга n. Если функция представлена в виде дизъюнкций элементарных конъюнкций, где ранг хотя бы одной элементарной конъюнкции меньше n, то такая форма называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Cледствие 2. Любая функция алгебры логики может быть представлена в виде формулы через отрицание, & и Ú.

а) Если f ≡ 0, то f (x ₁,..., x_n) = & .

б) Если f (x ₁,..., x_n) ¹ 0 тождественно, тогда ее можно представить в виде СДНФ, где используются только связки , &, Ú. СДНФ дает алгоритм представления функции в виде формулы через &, Ú, .

Пример 3. Пусть функция f (x ₁, x ₂, x ₃) задана таблицей истинности. Запишем ее в виде СДНФ. Наборов, на которых функция равна 1, три: (0, 1, 0), (1, 0, 0) и

(1, 1, 1), поэтому f (x ₁, x ₂, x ₃) = x ₁⁰ & x ₂¹ & x ₃⁰ Ú x ₁¹ & x ₂⁰ & x ₃⁰ Ú x ₁¹& x ₂¹ & x ₃¹=

= & x ₂& Ú x ₁& & Ú x ₁& x ₂& x _3.

x 1	x 2	x 3	f

Следствие 3. Мы умеем представлять функцию в виде . Нельзя ли представить ее в виде . Пусть функция f(x₁,..., x_n) ¹ 1 тождественно. Тогда функция f* ¹ 0 тождественно, и ее можно представить в виде СДНФ:

.

По принципу двойственности заменим & на Ú и наоборот, получим

(2)

называется элементарной дизъюнкцией ранга n. Представление функции в виде (2) называется совершенной конъюнктивной нормальной формой или в краткой записи – СКНФ. СКНФ для f (x ₁,..., x_n) – конъюнкция элементарных дизъюнкций ранга n. КНФ для f (x ₁,..., x_n) – конъюнкция элементарных дизъюнкций, где ранг хотя бы одной элементарной дизъюнкции меньше n.

Пример 4. Пусть f (x ₁, x ₂, x ₃) = x ₁ (x ₂ (x ₃ ~ x ₁)). Представим ее в виде СКНФ, для этого получим таблицу истинности.

x 1	x 2	x 3	x 3~ x 1	x 2 (x 3~ x 1)	f
1	1	1	1 1	1	1

Функция равна нулю только на наборе (1, 1, 0), поэтому

f (x ₁ x ₂ x ₃)= x ₁ Ú x ₂ Ú x ₃ = x ₁⁰Ú x ₂⁰Ú x ₃¹= Ú Ú x ₃.

2.4.5. Полнота, примеры полных систем

Определение. Система функций { f ₁, f ₂,..., f _s,...}Ì P ₂ называется полной в Р ₂, если любая функция f (x ₁,..., x_n) Î P ₂ может быть записана в виде формулы через функции этой системы.