Операции над матрицами. Суммой матриц и называется такая матрица ,

Суммой матриц и называется такая матрица ,

элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B, т. е.

(1.19)

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Произведением числа на матрицу называется такая матрица ,

элементы которой вычисляются по формуле:

(1.20)

Матрица называется противоположной матрице

Разность матриц можно определить так:

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число удовлетворяют следующим свойствам:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

где матрицы; числа.

Пример 3. Даны матрицы ; . Вычислить матрицу .

Решение.

.

Операция умножения матрицы А на матрицу В возможна только тогда,

когда число столбцов первой матрицы, т. е. А, равно числу строк второй матрицы, т. е. В (но не наоборот!).

Произведением матрицы на матрицу , где называется такая матрица , элементы которой вычисляются по формуле:

(1.21)

Обратите внимание на то, что в матрице С получилось столько строк, сколько их имела матрица А, и столько столбцов, сколько их было в матрице В.

Пример 4. Даны матрицы ; . Найти матрицу

Решение.

Умножение матриц удовлетворяет следующим свойствам:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.

Матрицы и называются перестановочными, если например, как видно из указанных выше свойств, матрицы и а также и перестановочны.

Замечание: в качестве упражнения докажите, что, например, матрицы

и не являются перестановочными.

Обозначение эквивалентных матриц и

К элементарным преобразованиям матрицы относится любая из следующих операций:

1) перемена местами любых двух строк (столбцов);

2) умножение каждого элемента произвольной строки (столбца) на один и тот же отличный от нуля множитель;

3) вычеркивание строки (столбца), целиком состоящей из нулей;

4) прибавление к элементам произвольной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на произвольное число.

Путем элементарных преобразований любую ненулевую матрицу можно привести к матрице вида:

. (1.25)

2.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В качестве иллюстрации широты применения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) приведем несколько задач, приводящих к СЛАУ.

Начнем с примера задачи экономического содержания, которая, в конечном итоге, приводит к матричному уравнению. Математическая модель, позволяющая анализировать таблицы межотраслевого баланса в макроэкономике, разработана в 1936 г. В. Леонтьевым. Если рассматривать n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию, то часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для конечного личного или общественного потребления.

Введем следующие обозначения: – общий (валовой) объем продукции -й отрасли – объем продукции -й отрасли, потребляемой -й отраслью в процессе производства – объем конечного продукта -й отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой -й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой отраслями, и конечного продукта, то

(2.1)

Введем коэффициенты прямых затрат показывающие затраты продукции -й отрасли на производство единицы продукции -й отрасли. В предположении, что в некотором промежутке времени коэффициенты будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства, это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т. е. Таким образом, соотношения баланса (2.1) примут вид:

(2.2)

Обозначим где – вектор валового выпуска; – вектор конечного продукта; – матрица прямых затрат.

Тогда систему (2.1) можно записать в матричном виде:

Рассмотрим теперь физические задачи, приводящие к СЛАУ.

Пусть мы имеем дело со схемой (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Схема электрической цепи

Слева направо течет общий известный ток , который разветвляется в первом верхнем узле на и (токам присваиваются номера резисторов). Затем ток разветвляется во втором верхнем узле на и , а ток разветвляется в третьем верхнем узле на и . В левом нижнем узле токи и стекаются, и из узла вытекает ток . В правом нижнем узле токи и стекаются, и из этого узла вытекает ток . В четвертом верхнем узле токи и стекаются, и оттуда вытекает ток .Нужно найти все токи, кроме . Применение правил Кирхгофа к пяти узлам и трем контурам приводит к системе восьми линейных алгебраических уравнений для восьми токов:

(2.3)

Полученную систему уравнений (2.3) можно записать в матричном виде и решать, например, по формулам Крамера, которые рассматриваются ниже.

К СЛАУ приводит также задача определения начального положения , начальной скорости и ускорения частицы при равнопеременном движении. Записываем соответствующие формулы для трех известных моментов времени – , и :

(2.4)

Полученную систему уравнений (2.4) также можно решить по формулам Крамера.

В заключение рассмотрим одну из задач линейного программирования: для изготовления двух видов продукции – и – используют четыре вида ресурсов – и Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице.

Данные к задаче

Вид ресурса	Запас ресурса	Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
		–
			–

Прибыль, получаемая от единицы продукции и – 2 и 3 р. соответственно.

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Если обозначить через и число единиц продукции и соот-ветственно, то экономико-математическую модель задачи можно записать в виде:

(2.5)

При решении рассматриваемой задачи, например, симплексным методом в каждое из уравнений системы (2.5) вводят по одной из дополнительных неотрицательных переменных в результате получают СЛАУ вида:

(2.6)

Дальнейшая процедура решения задачи состоит в преобразовании специальным образом составленной симплексной таблицы (использующиеся здесь формулы элементарных преобразований аналогичны элементарным преобразованиям расширенной матрицы СЛАУ, применяемым в методе Гаусса решения СЛАУ, который будет описан ниже).