Определители, способы их вычисления

Понятие определителя, или детерминанта, вводится только для квадратной матрицы A, он обозначается через или

Пусть рассматривается матрица, состоящая из одного элемента, т. е.

(1.12)

тогда или = .

Для квадратной матрицы второго порядка, т. е. для матрицы

(1.13)

определитель

(1.14)

равен разности произведений элементов, стоящих на левой (главной) и на правой (побочной) диагоналях.

Для квадратной матрицы третьего порядка определитель вычисляется по формуле:

(1.15)

Слагаемые для вычисления указанного определителя составляются по схеме, представленной на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Схема вычисления определителя 3-го порядка

В схеме, представленной на рис. 1.1, плюс означает, что произведения указанных элементов берутся со своими знаками, а минус – с противоположными. Это правило вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольников.

Пример 1. Дана матрица . Вычислить ее определитель.

Решение.

Применим правило треугольников: 1 + +

+ = 9.

Прежде чем сформулировать правило вычисления определителя квадратной матрицы n- го порядка, введем понятие минора и алгебраического до-полнения.

Минором элемента квадратной матрицы А (или ), где 1, 2, …, n, называется такой определитель, который получен из данной матрицы А ( или ) вычеркиванием i -й строки и j- го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы (или ) называется минор этого элемента, взятый со знаком , т. е.

(1.16)

Для квадратной матрицы n- го порядка ее определитель равен сумме произведений элементов любой его i -й строки (j -го столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

, i, j = 1, 2,…, n.

В сжатом виде эта формула принимает вид:

(1.17)

или

(1.18)

Формулы (1.17) и (1.18) являются соответственно разложением определителя n -го порядка по элементам i -й строки и j -го столбца.

Пример 2. Вычислить определитель

Решение.

Разложим данный определитель четвертого порядка по элементам, например, первой строки:

Обозначим полученные определители третьего порядка через , i = 1, 2, 3, 4. Вычисляя их по правилу треугольников, получим: Подставляя найденные в выражение для имеем:

Следует отметить, что определители можно было вычислить также с помощью разложения по элементам какой-либо строки или столбца.