Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства

Рассмотрим формально две задачи I и II линейного программирования, представленные в табл. 6.1, абстрагируясь от содержательной интерпретации параметров, входящих в их экономике-математические модели.

Эти две задачи обладают следующими свойствами:

1. В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другой — минимум.

2. Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.

3. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида " ", а в задаче минимизации все неравенства вида " ".

4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу:

для задачи I ,

для задачи II .

5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.

6. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

Две задачи I и II линейного программирования, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимно двойственными задачами. В дальнейшем для простоты будем называть их просто двойственными задачами.

Исходя из определения, можно предложить следующий алгоритм составления двойственной задачи.

1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задаче ищут максимум линейной функции, то все неравенства системы ограничений привести к виду " ", а если минимум, то к виду " ". Для этого неравенства, в которых это требование не выполняется, умножить на –1.

2. Составить расширенную матрицу системы А ₁, в которую включить матрицу коэффициентов при переменных А, столбец свободных членов системы ограничений и строку коэффициентов при переменных в линейной функции.

3. Найти матрицу , транспонированную к матрице А ₁.

4. Сформулировать двойственную задачу на основании полученной матрицы и условия неотрицательности переменных.

Пример 6.1. Составить задачу, двойственную следующей задаче:

при ограничениях

.

Решение. 1. Так как исходная задача на максимизацию, то приведем все неравенства системы ограничений к виду " ", для чего обе части первого и четвертого неравенства умножим на -1. Получим

2. Составим расширенную матрицу системы

.

3. Находим матрицу , транспонированную к А

.

4. Формулируем двойственную задачу:

при ограничениях

.