Методы оценивания параметров структурной модели

Для решения точно идентифицируемого уравнения используется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), для решения сверхидентифицированных – двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Алгоритм косвенного МНК включает три шага:

1. Составление приведенной формы модели.

2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты ().

3. Путем алгебраических преобразований по оценкам приведенных коэффициентов определение параметров структурной формы модели.

Рассмотрим пример. Пусть дана структурная форма модели с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными:

(2.6)

Для построения данной модели мы располагаем некоторой информацией по семи регионам:

Таблица 2.1 – Исходные данные для построения структурной формы модели

№	у1	у2	х1	х2
					-3	-1	-2,1	-0,4
					-2		-1,1	0,6
					-1		1,9	-1,4
						-2	-0,1	-1,6
						-3	-0,1	-0,4
							0,9	-0,4
							0,9	0,6
Ср.			3,1	2,4

Шаг1. Приведенная форма модели составит:

(2.7)

Шаг2. Для каждого уравнения приведенной формы модели применяем обычный МНК и определяем - коэффициенты.

Чтобы упростить процедуру расчетов, можно использовать отклонения от средних уровней: .

Для первого уравнения приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:

Для расчета приведенных коэффициентов по исходным данным определяем Расчеты ведем в таблице 2.2.

Таблица 2. 2 – Расчеты приведенных и структурных коэффициентов

№	у1х1	у1х2	х1х2	х12	х22	у2х1	у2х2		+х1=z	у1*z	z2
	6,3	1,2	0,84	4,41	0,16	2,1	0,4	-12,63	-14,73	44,18	216,86
	2,2	-1,2	-0,66	1,21	0,36			-2,23	-3,33	6,65	11,06
	-1,9	1,4	-2,66	3,61	1,96	1,9	-1,4	1,87	3,77	-3,77	14,24
			0,16	0,01	2,56	0,2	3,2	-9,17	-9,27	0,00	85,93
	-0,1	-0,4	0,04	0,01	0,16	0,3	1,2	-2,67	-2,77	-2,77	7,65
		-0,8	-3,6	0,81	0,16		-0,8	2,31	3,21	6,43	10,33
	2,7	1,8	0,54	0,81	0,36	2,7	1,8	7,73	8,63	25,90	74,55
Сумма	27,2		-5,34	10,87	5,72	25,2	4,4	-14,77	-14,47	76,62	420,62

Имеем:

Решая данную систему, получим первое уравнение приведенной формы модели:

у₁ = 4,939 х₁+ 4,96 х₂..

Аналогично применяем МНК для второго уравнения приведенной формы модели, получим:

Для расчета приведенных коэффициентов этой системы по исходным данным дополнительно определяем Расчеты в таблице 2.2.

Применительно к нашему примеру имеем:

,

Откуда второе приведенное уравнение составит:

у₂ = 4,98 х₁+ 5,42 х₂..

Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:

Шаг 3. Переходим о приведенной формы модели к структурной форме модели, т. е. к системе уравнений:

Для этой цели из первого уравнения приведенной формы модели надо исключить х₂, выразив его из второго уравнения приведенной формы модели и подставив в первое:

Тогда

- первое уравнение структурной модели.

Чтобы найти другое уравнение структурной модели из второго уравнения приведенной формы модели следует исключить х₁, выразив его из первого уравнения и подставив во второе:

Тогда

- второе уравнение структурной модели.

Итак, структурная форма модели имеет вид:

Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:

1. Составление приведенной формы модели.

2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты ().

3. Определение расчетных значений эндогенных переменных, которые находятся в правой части сверхидентифицируемого уравнения структурной формы модели.

4. Определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение экзогенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных.

Для того, чтобы привести вышеприведенную идентифицируемую модель (2.5) в сверхидентифицируемую наложим ограничения на ее параметры, а именно b₁₂ = a₁₁. Тогда она примет вид:

(2.8)

Bыполнив пункты 1 и 2 алгоритма для тех же исходных данных, получим ту же систему приведенных уравнений:

На основе второго уравнения данной системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной у₂, т. е. . С этой целью во второе уравнение подставляем значения х₁ и х₂ как отклонения от средних. Оценки для эндогенной переменной у₂, приведены в таблице 2.2.

После того как найдены оценки эндогенной переменной у₂, обратимся к сверхидентифицированному структурному уравнению

.

Заменяя фактические значения у₂ их оценками , найдем значения новой переменной + х₁ = z.

Далее применим МНК к уравнению , т. е. .

Откуда

Таким образом, сверхидентифицированное структурное уравнение оставит:

.

Ввиду того, сто второе уравнение системы (2.7) не изменилось, то его структурная форма, найденная из системы приведенных уравнений, та же:

у₂ = 4,98 х₁ + 5,42 х₂..

В целом рассматриваемая система одновременных уравнений составит: