Д.1 Дифференциальное уравнение неравномерного движения в призматических руслах

Ниже приводится без подробного вывода уравнение неравномерного движения; там как в большинстве учебников оно дано именно в таком виде, считаем необходимым дать его здесь.

Применим уравнение Бернулли к двум сечениям потока 1 и 2 (в обоих течение плавноизменяющееся), расположенным на расстоянии , рис. Д.1.1; в результате получим

, (Д.1.1)

примем , раскрываем скобки в правой части последнего равенства и не учитываем (dV)² как величину бесконечно малую более высокого порядка. Значение потерь энергии на участке dl определяем так

. (Д.1.2)

В результате уравнение (Д.1.1) преобразуется к виду

,

а после деления обоих частей на dl:

(Д.1.3)

С целью дальнейшего преобразования полученного уравнения примем во внимание, что ; расход остается постоянным вдоль потока и площадь сечения может быть представлена как . Тогда

. (Д.1.4)

Если русло призматическое, то зависит только от глубины , которая в свою очередь меняется вдоль потока, т.е. зависит от , тогда

.

С учетом последнего выражения зависимость (Д.1.4) принимает вид

(Д.1.5)

Уравнение (Д.1.3) с учетом (Д.1.5) и после замены на становится таким

.

В последнем уравнении группируем члены на содержащие и на не содержащие эту производную, тогда

.

Окончательно получим

. (Д.1.6)

Это уравнение является дифференциальным уравнением неравномерного плавноизменяющегося движения жидкости в открытых призматических каналах.

Отметим некоторые особенности основного уравнения неравномерного движения.

1. Знаменатель правой части, если его приравнять к нулю, может быть преобразовано к виду

что совпадает с уравнением для определения критической глубины. Следовательно, знаменатель обращается в ноль, когда глубина потока становится равной критической; тогда левая часть принимает бесконечное значение и возникает разрыв непрерывности.

2. В числителе уравнения (Д.1.6) – разность между геометрическим и гидравлическим уклонами. Они одинаковы при равномерном движении и при этом

3. Для случая прямоугольного открытого канала вычитаемое в знаменателе (Д.1.6) преобразуется к виду

т.е. оно является числом Фруда.

4. При h → h_o и - в этом случае свободная поверхность при неравномерном движении асимптотически приближается к свободной поверхности при равномерном движении.

5. Если h → h_кр, то ; в этом случае свободная поверхность потока при глубинах близких к h_кр резко поднимается или резко снижается, и в обоих случаях нарушается условие плавноизменяемости. Резкое увеличении глубины потока называется гидравлическим прыжком, резкое уменьшение глубины связано с водопадом.

6. При или при значение , так как в первом случае числитель и знаменатель уравнения (Д.1.6) обращаются в единицы, а в случае и числитель и знаменатель принимают очень большие значения, отношение которых остается близким к единице. При этом свободная поверхность потока будет асимптотически приближаться к горизонтальной прямой.

Задача Д.1.1 Вывести дифференциальное уравнение неравномерного плавноизменяющегося движения жидкости в открытых непризматических руслах.

Указание. Учесть, что площадь сечения является функцией двух независимых переменных – глубины и ширины . Тогда

.