Интерполяция сплайнами. Цель работы: для функции, заданной таблично в точках , построить интерполяционный многочлен , используя кубические сплайны

ПРИМЕР. Построить интерполяционный многочлен, применяя кубические сплайны, для функции, заданной таблицей 5.1.

Таблица 5.1

Кубические сплайны имеют вид: .

Учитывая и исходные данные, сплайны 3-го порядка для трех промежутков будут иметь вид:

, ;

, ;

, .

Для определения неизвестных составим систему:

- первая группа уравнений (условие равенства значений в узлах склейки сплайнов)

- вторая группа уравнений (условие непрерывности производных в узлах склейки сплайнов)

- третья группа уравнений - граничные условия

Таким образом, общая система состоит из 9 уравнений. Для записи матрицы коэффициентов, заполним таблицу 5.2.

Таблица 5.2

Решая систему методом Гаусса, находим неизвестные:

b₁=-11,6 b₂=-0,4 b₃=1.62

c₁=5,6 c₂=6,6 c₃=-4,59

d₁=0 d₂=-1,7 d₃=0,76

Сплайны соответственно на промежутках будут иметь вид

,

,

.

Убедимся, что найденные сплайны удовлетворяют наперед заданным свойствам. Для этого заполним таблицу 5.3.

Таблица 5.3

Анализ таблицы 5.3 показывает:

достигнуто совпадение значений сплайнов в узлах их склейки, а также совпадение этих значений с табличными значениями функции f(x). Практически совпадают значения производных S¢₁(x) и S¢₂(x) в узле х=3, а так же производных S¢₂(x) и S¢₃(x) в узле х=5, что обеспечивает гладкость совокупного кубического сплайна.

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

1. таблицу значений функции (табл. 5.1);

2. общий вид сплайнов для всех промежутков;

3. таблицу значений коэффициентов (табл. 5.2);

4. решение системы;

5. найденные сплайны для всех промежутков;

6. таблицу соответствия сплайнов заданным свойствам (табл. 5.3).

Варианты лабораторных работ