Обработка результатов наблюдений методом наименьших квадратов

Цель работы: используя метод наименьших квадратов, найти многочлены первой и второй степеней, аппроксимирующие функцию, заданную таблично. Построить заданные точки и аппроксимирующие кривые.

ПРИМЕР. Функция f(x) задана таблично

Таблица 2.1

i
х	-3	-1
у	2,9	1,0	-0,2	-1,5	-0,4	0,5	2,0

Для аппроксимации заданной таблично функции f(х) многочленом первой степени , необходимо составить систему следующего вида

и решить ее относительно , .

Для аппроксимации заданной таблично функции f(х) многочленом второй степени , необходимо составить следующую систему

и решить ее относительно , , .

Вычисление коэффициентов приведенных систем располагаем в виде таблицы 2.2.

Таблица 2.2

i	xi	xi2	xi3	xi4	yi	xi yi	xi2yi
	-3		-27		2,9	-8,7	26,1
	-1		-1		1,0	-1,0
					-0,2
					-1,5	-1,5	-1,5
					-0,4	-0,8	-1,6
					0,5	1,5	4,5
					2,0	8,0	32,0
					4,3	-2,5	60,5

Для нахождения коэффициентов , многочлена первой степени, получаем следующую систему:

.

Отсюда ; . Следовательно, .

Для нахождения коэффициентов , , многочлена второй степени, получаем следующую систему:

.

Решив эту систему, получим: , , .

Следовательно, .

Графики полученных многочленов и , а также заданные табличные точки, представлены графически на рисунке 1.

Рисунок 1. Аппроксимация результатов наблюдений

- результаты наблюдений;

аппроксимация многочленом первого порядка;

аппроксимация многочленом второго порядка.

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

1. Таблицу исходных данных 2.1;

2. Таблицу расчета коэффициентов 2.2 для систем;

3. Системы линейных уравнений для расчета параметров многочленов первой и второй степеней, решение этих систем;

4. Запись многочленов первой и второй степеней в аналитическом виде;

5. График с исходными данными и аппроксимирующими кривыми.

Варианты лабораторных работ