Теоретическая часть. А. Пусть на отрезке на неравномерной сетке задана сеточная функция ,

А. Пусть на отрезке на неравномерной сетке задана сеточная функция , . Предположим, что .

При разложении функцию по формуле Тейлора относительно точки , получаем левостороннюю формулу для расчета первой производной:

, (1)

причем оценка погрешности составит , где .

Если функцию разложить по формуле Тейлора относительно точки , то получим правостороннюю формулу для расчета первой производной:

, (2)

оценка погрешности составит .

Б. Пусть на отрезке на неравномерной сетке задана сеточная функция , . Предположим, что . Разложим функцию при и по формуле Тейлора относительно точки , причем, , . В результате разложения находим формулу для аппроксимации первой производной в крайней левой точке:

, (3)

оценка погрешности , где .

На равномерной сетке формула (3) () приводится к виду:

, (3а)

оценка погрешности составляет , .

Аналогично, получаем аппроксимацию для первой производной в правой крайней точке:

, (4)

с оценкой погрешности .

Для равномерной сетки (, ):

. (4а)

С. Пусть на отрезке на неравномерной сетке задана сеточная функция , . Предположим, что . Разложим функцию при и по формуле Тейлора относительно центральной точки . Полученные выражения для , и исключение из них слагаемых со второй производной приводят к следующим расчетным формулам, аппроксимирующим первую производную в центральной точке:

. (5)

Для равномерной сетки (, ):

, (5а)

оценка погрешности составляет , .

D. Пусть на отрезке на неравномерной сетке задана сеточная функция , . Предположим, что . Разложим функцию в точках и по формуле Тейлора до слагаемого четвертого порядка относительно шага.

Аппроксимация второй производной на нерегулярном шаблоне имеет вид:

. (6)

Если сетка равномерная, то

, (6а)

оценка погрешности составляет , .

ПРИМЕР. Функция задана таблицей 7.1.

Таблица 7.1

x	0,8	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	2,2
f(x)	1,17609	1,00000	0,833333	0,714285	0,625000	0,55555	0,32222	0,22222

Требуется вычислить значение первой производной и второй производной .

1. Так как шаг заданной сеточной функции постоянный , точка находится внутри сетки, то для вычисления производной в этой точке воспользуемся формулой (5а). При этом центральная точка расчетного шаблона совпадает с точкой . Посчитаем искомое значение производной:

= .

Прежде чем выполнить вычисление, определим количество знаков, которое сохраняется при этом.

Остаточное слагаемое выбранной формулы

Так как остаточное слагаемое , то в вычислениях ожидается три верных цифры после запятой. Оставим ещё одну сомнительную, итого для наших расчетов четыре цифры после запятой.

= -0,521.

Фактическая абсолютная погрешность составляет:

,

а относительная погрешность равна .

2. Для вычисления второй производной в точке можно воспользоваться формулой (6а). Вычисление производится по приведенному выше алгоритму.

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

1. постановку задачи;

2. вычисление первой производной в точке по всем приведенным в теоретическом разделе формулам;

3. вычисление второй производной в точке ;

4. оценку абсолютной и относительной погрешности вычислений.

Варианты лабораторных работ