Глава 5. Прочность при повторно-переменных (циклических) напряжениях

5.1. Основные понятия. Механизм разрушения

Многие детали машин в процессе работы испытывают действие переменных во времени напряжений. Это вращающиеся валы, шатуны и кривошипы двигателей, лопатки турбин, оси вагонов и локомотивов и тому подобные другие детали. Рассмотрим, например, железнодорожную вагонную ось (рис.5.1,а). Расчётная схема изображена на рис.5.1,б, ось испытывает чистый изгиб. Точка К на поверхности оси в произвольный момент времени имеет координату y = r sin φ, где r – радиус вала (рис.5.1,в). Угол поворота φ изменяется во времени в зависимости от угловой скорости вращения ω по закону φ = ωt. Следовательно,

у = r sin ωt. (5.1)

В сечении m-n (и в любом другом сечении между колёсами) действует изгибающий момент M = Pℓ, от которого в точке K возникают нормальные напряжения

. (5.2)

Наибольшее растягивающее напряжение σ_max в точке К будет тогда, когда она займёт положение точки 2 (рис.5.1,в). Наибольшее сжимающее напряжение σ_min будет в точке К, когда она займёт положение точки 4. Когда точка К попадает на нейтральную ось (положение точек 1 и 3), напряжение в ней будет равно нулю. По уравнению (5.2) построен график, изображённый на рис.5.2. Как видим, напряжения изменяются во времени периодически: через определённый промежуток времени Т (период) они проходят одно и то же значение.

а     б

в Рис.5.1

Рис.5.2

Изменение напряжения за один период называется циклом напряжений. Различным законам изменения напряжений соответствуют различные виды циклов. В приведённом примере представлен так называемый симметричный цикл.

Многолетний опыт эксплуатации машин показал, что под воздействием циклических напряжений детали машин разрушаются при напряжениях меньше тех, которые опасны при постоянных напряжениях. Изломы происходят не сразу, а после длительной работы машины.

Как правило, детали разрушались без видимых остаточных деформаций даже в тех случаях, когда они изготовлялись из пластических материалов. Возникло предположение, что под влиянием циклических напряжений материал с течением времени «устаёт» – перерождается и вместо пластического становится хрупким. Позднее, с усовершенствованием лабораторных методов исследования было установлено, что структура и механические свойства материала от переменных напряжений не меняются, но название «усталость» материалов осталось и им повсюду пользуются и в настоящее время.

Физико-механическая природа усталостного разрушения изучалась различными методами (рентгеновским, микроскопическим, измерением твёрдости и микротвёрдости, электроноскопическим и др.), однако до сих пор природа этих разрушений во многом остаётся неясной. Невозможно объяснить усталостное разрушение в рамках принятой в сопротивлении материалов гипотезы о сплошной однородной упругой среде.

Наиболее удовлетворительное объяснение состоит в следующем. Конструкционные стали и другие сплавы представляют собой мелкокристаллический конгломерат, кристаллиты которого имеют случайную ориентировку. Кристаллиты, составляющие структуру металла, обладают анизотропией, т.е. различными упругими свойствами и различной прочностью в зависимости от ориентировки кристаллографических осей. Поэтому при деформировании конгломерата напряжения в отдельных кристаллитах существенно отличаются одно от другого, и вычисляемые обычными способами сопротивления материалов напряжения являются лишь их статистическим осреднением. Уже на ранних стадиях деформирования в некоторых ослабленных и (или) неблагоприятно ориентированных кристаллитах возникают пластические деформации.

Ввиду того, что напряжения не статические, а переменные, в течение каждого цикла пластически деформированный кристаллит разгружается и снова нагружается – происходит наклёп. В результате многократного наклёпа ухудшаются пластические свойства, и в какой-то момент в ослабленном кристаллите возникает микротрещина. При определённой величине переменных напряжений микротрещина растёт, сливается с другими микротрещинами, пересекая весь кристаллит, и, в конечном счете, образуется макротрещина, распространяющаяся на некоторую область поперечного сечения детали.

Трещины от периодических нагрузок раскрываются и закрываются, в результате чего крупные зёрна кристаллитов измельчаются. Этим можно объяснить наличие гладкой (мелкозернистой) зоны в месте усталостного разрушения (рис.5.3). На дне трещины, как в остром надрезе, возникает большая концентрация напряжений. Материал в этом месте находится в объёмном напряжённом состоянии, тормозящем пластическую деформацию. Всё это способствует дальнейшему росту трещины, увеличение которой в конечном итоге сильно ослабляет сечение детали и приводит её к внезапному (хрупкому) разрушению. Поэтому в поперечном сечении разрушенной детали кроме гладкой зоны развития трещины всегда имеется крупнозернистая зона хрупкого излома (рис.5.3).

Рис.5.3

Таким образом, под усталостью понимают процесс постепенного накопления повреждений материала при действии циклических напряжений, приводящий к образованию трещин и разрушению. Свойство материала противостоять усталости называется выносливостью.

Усталостные поломки составляют основной вид разрушения деталей машин. Всё сказанное выше относится к так называемой многоцикловой усталости, когда деталь испытывает большое число циклов до разрушения (число циклов N > 10⁵). Число циклов до разрушения зависит от величины напряжения: чем больше напряжение, тем меньше циклов выдерживает деталь. При высоких напряжениях (примерно равных или чуть меньших предела текучести) имеет место так называемая малоцикловая усталость (N < 10² ¸ 10⁴). Разрушение от малоцикловой усталости характеризуется заметными пластическими деформациями. Простой пример: чтобы разорвать медную проволоку, мы несколько раз её перегибаем, деформация при этом пластическая, напряжения превышают предел текучести, но не достигают предела прочности; после нескольких циклов (обычно достаточно пяти- шести) проволока разрушается.

Большинство деталей машин должно обладать такой выносливостью, чтобы усталостного разрушения не было вообще или, по крайней мере, в течение заданного межремонтного срока. В настоящем разделе рассмотрен расчёт на многоцикловую усталостную прочность.

5.2. Характеристики цикла. Виды циклов

На рис.5.2 приведён график напряжений при наиболее распространённом симметричном цикле. Если к вращающемуся валу приложить дополнительную продольную силу постоянной величины, то к напряжениям (5.2) добавится постоянное напряжение и напряжения будут меняться по закону, изображённому на рис.5.4. Такой закон изменения напряжений носит название асимметричного цикла. Асимметричный цикл может быть знакопостоянным и знакопеременным. На рис.5.4 – знакопостоянный цикл.

На усталостную прочность в основном влияют максимальные σ_max и минимальные σ_min напряжения цикла. Эти величины являются исходными для расчёта других характеристик цикла.

Рис. 5.4

Среднее (постоянное) напряжение цикла (рис.5.4):

. (5.3)

Амплитуда цикла (рис.13.4):

. (5.4)

Среднее напряжение может быть как положительным, так и отрицательным, амплитуда же цикла определяется абсолютной величиной (без учёта знака).

Коэффициент асимметрии цикла – это отношение минимального напряжения цикла к максимальному с учётом знаков этих напряжений, обозначается буквой r:

. (5.5)

Определитель цикла – это отношение амплитуды к среднему напряжению. На диаграмме предельных напряжений, которая будет рассмотрена ниже, определитель цикла представляет собой тангенс угла наклона прямой, проведённой из начала координат, к оси абсцисс. Из формул (5.3) ¸ (5.5) определитель цикла равен

. (5.6)

Циклы, имеющие одинаковые коэффициенты асимметрии r, называются подобными.

При расчёте деталей машин могут встретиться любые виды циклов напряжений. Остановимся лишь на самых характерных, наиболее часто встречающихся.

Симметричный цикл. Это, безусловно, самый распространённый цикл переменных напряжений (рис.5.2). Его характеристики:

σ_max = – σ_min, σ_с = 0, σ_a = σ_max, r = – 1, tg γ = ∞.

Симметричный цикл является наиболее опасным, при любой деформации прочность самая низкая.

Пульсирующий или отнулевой цикл. Второй после симметричного по распространённости, график – на рис.5.5. Характеристики:

σ_max > 0, σ_min,= 0, σ_с = 0,5σ_max, σ_a = 0,5σ_max, r = 0, tg γ = 1.

Статическое напряжение. Оно может рассматриваться как частный случай циклического (рис.5.6).

Характеристики:

σ_max = σ_min > 0, σ_с = σ_max, σ_a = 0, r = + 1, tg γ = 0.

Рис. 5.5 Рис. 5.6

В заключение заметим, что во всех приведённых выше формулах и графиках фигурирует нормальное напряжение σ, т.е. идёт речь о циклическом растяжении–сжатии или изгибе. В случае циклического кручения буква σ должна быть заменена на букву τ при сохранении соответствующих индексов.

5.3. Экспериментальное определение характеристик сопротивления усталости

Как отмечалось выше, усталостная прочность (выносливость) деталей зависит от числа циклов до разрушения. Надо иметь в виду, что не любые по величине переменные напряжения вызывают усталостное разрушение. Оно может наступить при условии, если переменные напряжения в той или иной точке детали превзойдут своё критическое значение, называемое пределом выносливости.

Предел выносливости – это наибольшее значение максимального напряжения цикла σ_max, которое не вызывает усталостного разрушения при неограниченно большом числе циклов.

Предел выносливости – обозначается σ_r, где r – коэффициент асимметрии цикла. При симметричном цикле предел выносливости обозначается σ_-1, при пульсирующем – σ₀. Чтобы определить предел выносливости, необходимо построить кривую усталости (кривую Веллера) в координатах σ – N или σ – lg N или lg σ – lg N. Для построения кривой надо испытать 6 ¸ 10 образцов.

При симметричном цикле предел выносливости σ_-1 меньше, чем предел выносливости других видов циклов, а определение его значительно проще. Пределы выносливости при выбранной характеристики цикла r, разумеется, будут различными в зависимости от вида деформации, при которой испытываются образцы.

Рис.5.7

Самая простая испытательная машина для определения предела выносливости при изгибе показана на рис.5.7. Цилиндрический полированный образец 4 диаметром от 7 ¸ 10 мм зажимается в захвате 3. На свободном конце образца через подшипник 5 подвешивается груз 6. Образец вращается электромотором 1, один оборот – один цикл. После разрушения образца груз падает и нажимает на кнопку 7, которая выключает мотор. Счётчик оборотов 2 показывает число циклов до разрушения N.

Порядок установления нагрузок на испытываемые образцы в большинстве случаев принимают ниспадающим, т.е. на первый образец дают нагрузку, напряжение при которой значительно превышает предел выносливости, а нагрузку на последующие образцы постепенно снижают. Разумеется, каждый из менее нагруженных образцов будет выдерживать всё большее и большее число циклов. По точкам разрушившихся образцов строят кривую усталости (рис.5.8).

а б

Рис.5.8

Кривая усталости σ = f (N) (кривая Веллера) на рис.5.8,а асимптотически приближается к горизонтальной прямой, ординатой которой и определяется предел выносливости.

Испытания чёрных металлов показали, что если образец не разрушается после 10⁷ оборотов, то он не разрушается вообще. Поэтому испытания образцов из чёрных металлов прекращают после 10⁷ циклов – «базы испытания». Базой испытания на выносливость называется наименьшее число циклов, существенное превышение которого не приведёт к усталостному разрушению образца. Для цветных металлов база испытания принята равной 10⁸ циклов, т.к. кривая не имеет асимптоты.

В связи с тем, что по кривой усталости в координатах N – σ часто бывает затруднительно определить положение асимптоты, кривую строят в полулогарифмических (рис.5.8,б) или логарифмических координатах. Предел выносливости определяется по перелому кривой.

Многочисленные экспериментальные данные позволили установить некоторые соотношения между пределами выносливости при различных видах деформации, и в частности, между пределами выносливости при изгибе , кручении τ_-1 и растяжении–сжатии при симметричном цикле. Эти соотношения приблизительно следующие:

для стали ;

; (5.7)

для чугуна ;

.

Кроме того, установлены некоторые соотношения между пределами выносливости и основной механической характеристикой прочности при статической нагрузке – пределом прочности σ_ПЧ:

для стали

; (5.8)

τ_-1 = 0,22 σ_ПЧ;

для высокопрочных сталей .

Следует отметить, что формулы (5.7) и (5.8) – сугубо приближенные и могут быть использованы только для ориентировочных расчётов в случае отсутствия данных о пределе выносливости.

Из сказанного выше ясно, что определение основной характеристики прочности при цикличных напряжениях – предела выносливости – требует проведения трудоёмких длительных экспериментов, для которых нужны специальные испытательные машины. Если для испытаний на изгиб при асимметричном цикле применяют простые машины типа той, которая схематически показана на рис.5.7, то для испытаний на осевое действие нагрузки или кручение при симметричном и произвольном асимметричном циклах нужны сложные машины с гидравлическим приводом (пульсаторы).

Чтобы охарактеризовать сопротивляемость материала действию переменных напряжений с различной асимметрией цикла, по результатам испытаний строят так называемую диаграмму предельных напряжений. На рис.5.9 представлена диаграмма Хея: по оси абсцисс откладывают среднее напряжение цикла σ_с, а по оси ординат – амплитуда цикла σ_а. Возможен другой вариант – диаграмма Смита: по оси абсцисс откладывают тоже σ_с, а по оси ординат – наибольшее σ_max и наименьшее σ_min напряжения цикла.

Основные точки диаграммы Хея (рис.5.9): точка А соответствует симметричному циклу – σ_с = 0, σ_а = σ_-1; точка В соответствует статическому нагружению – σ_а = 0, σ_с = σ₊₁ = σ_ПЧ; точка C соответствует пульсирующему циклу , .

Рис.5.9

Прямая, проведённая из начала координат под углом γ к оси абсцисс, позволяет найти предел выносливости для произвольного асимметричного цикла. Определитель цикла находится по формуле (5.6)

, , .

На луче надо найти точку, соответствующую напряжению в детали, – точку M₁. После чего можно определить коэффициент запаса прочности

. (5.9)

5.4. Влияние конструктивно-технологических факторов на усталостную прочность

На величину предела выносливости образцов или деталей, кроме характеристики цикла, влияет целый ряд различных факторов: форма детали, размеры, состояние поверхности, среда, в которой работает деталь, температура, режимы циклического силового воздействия (пауза, перегрузки, частота нагружения и т.п.), предварительная внутренняя напряжённость материала и др. Рассмотрим влияние наиболее важных из них, которые обычно учитываются при расчёте усталостной прочности.

5.4.1. Влияние концентрации напряжений

Наиболее важным фактором, снижающим усталостную прочность, является концентрация напряжения, вызванная резким изменением формы и сечения детали. Концентраторами напряжений являются шпоночные канавки, отверстие, галтели в местах резкого изменения диаметра вала, резьбы, прессовые посадки, дефекты литья, риски на поверхности и т.п. В зонах концентрации не только наблюдается резкий всплеск напряжений, но в ряде случаев меняется вид напряжённого состояния (вместо линейного возникает плоское или вместо плоского – объёмное). Концентрация напряжений содействует зарождению усталостной трещины, которая, развиваясь, приводит в конце концов к разрушению детали.

На рис.5.10,а представлен график распределения напряжений в растягиваемой полосе с отверстием. Другой пример – распределение напряжений в полосе с большими вырезами при растяжении – на рис.5.10,б, а на рис.5.10,в – кручение цилиндрического вала с полукруглой выточкой.

Концентрация напряжений характеризуется теоретическим коэффициентом напряжений

,

или (5.10)

.

а б в

Рис.5.10

где σ_max – наибольшее напряжение в зоне концентрации; σ_nom – номинальное напряжение. Номинальное напряжение – это напряжение в детали без учёта концентрации напряжений. Всегда должен быть указан способ его определения, т.к. можно учитывать или не учитывать ослабление сечения.

В полосе с отверстием (рис.5.10,а) , и α_σ = 2,8.

В полосе с полукруглыми вырезами (рис.5.10,б) , и α_σ = 1,4.

Для вала с выточкой (рис.5.10,в) приведён график α_τ.

Для нашего случая , и α_σ = 1,32.

Теоретический коэффициент концентрации напряжений отражает распределение напряжений в детали из идеально упругого сплошного однородного материала. Поэтому его определяют теоретически – методом теории упругости, или экспериментально – методом фотоупругости на моделях из эпоксидной смолы. Значение теоретических коэффициентов концентрации напряжений для различных источников концентрации приведены в обширной справочной литературе.

Экспериментальные исследования усталостной прочности показали, что усталостные повреждения начинаются в местах концентрации напряжений, но при этом максимальные напряжения меньше напряжений, найденных теоретически или экспериментально для идеально упругого тела. В поликристаллических материалах за счёт пластических деформаций в микрообласти места концентрации происходят перераспределения и сглаживания напряжений. Поэтому вводят понятие эффективного максимального напряжения и эффективного коэффициента концентрации напряжений

σ_{max эф.} = К_σσ_nom ≤ σ_max = α_σσ_nom, (5.11)

. (5.12)

Условие (5.11) означает

К_σ ≤ α_σ, (5.13)

причём равенство возможно для материалов с повышенной чувствительностью к концентрации напряжений и для деталей больших размеров.

Эффективный коэффициент концентрации напряжений можно найти только экспериментально, путём определения пределов выносливости

, (5.14)

где σ_-1 – предел выносливости гладкого образца (детали);

σ_-1К – предел выносливости образца (детали) с концентрацией напряжений.

Ввиду ограниченности данных по испытаниям образцов с концентраторами напряжений пользуются приближённой зависимостью между α_σ и К_σ

К_σ = 1 + q (α_σ – 1), (5.15)

где q – коэффициент чувствительности материала к концентрации напряжений, значение которого для различных материалов приведены ниже:

Литые материалы и материалы с внутренними источниками концентрации напряжений (серый чугун)…………………………………….…..0,1 ¸ 0,2

Литые жаропрочные сплавы, стальное и алюминиевое литьё модифицированные чугуны ………………………………………………….………0,1 ¸ 0,4

Низкоуглеродистые стали, жаропрочные деформируемые сплавы, алюминиевые деформируемые сплавы……………………………………….0,3 ¸ 0,5

Среднеуглеродистые и низколегированные стали…………………...0,4 ¸0,6

Конструкционные легированные стали……………………………….0,6 ¸ 0,7

Высоколегированные стали, титановые сплавы……………………...0,7 ¸ 0,9

Очевидно, для материала не чувствительного к концентрации напряжений, q = 0 и К_σ = 1. Когда q = 1, К_σ = α_σ, т.е. материал обладает полной чувствительностью к концентрации напряжений. Чем выше прочность стали, тем выше её чувствительность к концентрации напряжений. Поэтому применение высокопрочных сталей при переменных напряжениях не всегда оказывается целесообразным. Металлы и сплавы с неоднородной структурой, такие как, например, серый чугун имеют пониженную чувствительность к концентрации напряжений вследствие того, что структурная неоднородность является внутренним источником концентрации напряжений и снижает предел выносливости гладких образцов настолько, что внешние концентраторы уже теряют своё влияние.

Описанный способ определения эффективного коэффициента концентрации напряжений К_σ является довольно грубым. Величина коэффициента чувствительности q зависит не только от материала, но и от геометрических особенностей детали. Поэтому вопрос определения К_σ смыкается с так называемым масштабным фактором.

5.4.2. Влияние абсолютных размеров детали

(масштабный фактор)

Экспериментально установлено, что с увеличением абсолютных размеров деталей их усталостная прочность снижается (масштабный эффект). Так, например, предел выносливости стали для вагонных осей, определённый в лаборатории на образцах диаметром d₀ = 7,5 мм, равен σ_-1 = 23 кН/см². В действительности, предел выносливости вагонной оси (детали) с диаметром d = 170 мм составляет σ_-1d = 12 кН/см², что почти вдвое меньше лабораторных результатов.

До настоящего времени этому фактору нет полного объяснения. Наиболее достоверно масштабный эффект объясняется статистической теорией усталости, в соответствии с которой при увеличении абсолютных размеров возрастает вероятность попадания дефектных зёрен материала в зону повышенных напряжений. Существуют и другие причины, способствующие проявлению масштабного эффекта: меньшая однородность материала в деталях больших размеров, трудность обеспечения стабильности технологического процесса.

Масштабный эффект оценивают с помощью коэффициента

. (5.16)

где σ_-1d – предел выносливости детали диаметром d;

σ_-1 – предел выносливости материала, определяемый на стандартных образцах, обычно диаметром d₀ = 7 ¸ 10 мм.

В табл.5.1 приведены значения масштабного коэффициента K_dσ для некоторых сталей. При этом можно считать K_dσ = K_dτ.

Таблица 5.1

Материал	d, мм
Углеродистая сталь с пределом прочности σПЧ = 40 ¸ 50 кН/см2	0,98	0,92	0,88	0,85	0,82	0,76	0,70	0,63
Углеродистая и легированная сталь σПЧ = 50 ¸ 80 кН/см2	0,97	0,89	0,85	0,81	0,78	0,73	0,68	0,61
Легированная сталь σПЧ = 80 ¸ 120 кН/см2	0,95	0,86	0,81	0,77	0,74	0,69	0,65	0,59
Легированная сталь σПЧ = 120 ¸ 140 кН/см2	0,94	0,83	0,77	0,73	0,70	0,66	0,62	0,57

5.4.3. Влияние состояния поверхности

В большинстве случаев поверхностные слои деталей, подверженных действию циклических нагрузок, оказываются более напряжёнными, чем внутренние (в частности, это имеет место при изгибе и кручении). Кроме того, поверхность детали почти всегда имеет много дефектов, связанных с качеством механической обработки, а также с коррозией вследствие воздействия окружающей среды. Поэтому усталостные трещины, как правило, начинаются с поверхности, а плохое качество последней приводит к снижению сопротивления усталости.

Влияние состояния поверхности на выносливость оценивается коэффициентом, который равен:

. (5.17)

где σ_-1П – предел выносливости образца с заданным состоянием поверхности;

σ_-1 – предел выносливости полированного образца.

Зависимость коэффициента от предела прочности стали для разных видов обработки и при наличии коррозии приведена на рис.5.11, где кривая 1 соответствует полированным образцам, 2 – шлифованным, 3 – образцам с тонкой обточкой, 4 – с грубой обработкой, 5 – необработанным с наличием окалины, 6 – образцам в пресной воде, 7 – в морской воде или в пресной с концентрацией напряжений.

Кривые 6 и 7 на рис.5.11 показывают, сколь существенно влияние коррозии на усталостную прочность. Необходимо отметить, что с увеличением времени наработки в коррозионной среде сопротивление усталости непрерывно падает. Это объясняется возникновением и развитием коррозионных микротрещин, которые становятся дополнительными источниками концентрации напряжения.

В соединениях, осуществляемых с помощью прочных посадок (прессовых, фланцевых, замковых и т.п.), при воздействии переменных напряжений возникают микросмещения, приводящие к разрушению поверхностного слоя, – это явление называется фреттинг–коррозией. При наличии фреттинг–коррозии К_F = 0,4 ¸ 0,6 для деталей из среднеуглеродистых легированных сталей.

Рис.5.11

Одним из эффективных способов увеличения выносливости деталей является упрочнение поверхности - повышение твёрдости, создание сжимающих напряжений. При этом эффект поверхностного упрочнения характеризуется коэффициентом К_υ. В табл.5.2 приведены значения К_υ для различных упрочняющих технологий.

Таблица 5.2

Способ упрочнения	Кυ для детали
с концентрацией напряжений	без концентрации напряжений
Пластическое деформирование (наклеп) с помощью обдувки дробью, обкатки роликом, алмазного выглаживания и т. п.	1,3 ¸ 2,2	1,1 ¸ 1,4
Химико-термическая обработка – цементация, азотирование, цианирование	1,3 ¸ 2,5	1,1 ¸ 1,3
Закалка токами высокой частоты	1,2 ¸ 2,5	1,1 ¸ 1,2
Специальная термическая обработка – умеренный нагрев и быстрое охлаждение поверхности	1,6 ¸ 2,5	1,2 ¸ 1,5

Остальные факторы, перечисленные в начале п.5.4, влияют на выносливость значительно меньше.

Влияние пауз. На усталостную прочность имеют влияние паузы - перерывы в нагружении. Число циклов до разрушения может увеличиваться на 15 ¸ 20%. Увеличение тем больше, чем чаще паузы и чем они длиннее.

Влияние температуры. С повышением температуры предел выносливости обычно падает (после 300⁰С примерно на 15 ¸ 20% на каждые 100⁰), а с понижением её – растёт (вдвое при охлаждении до –190⁰ С).

Частота нагружения. Увеличение частоты нагружения приводит к некоторому повышению усталостной прочности. По опытным данным увеличение частоты от 30 ¸ 50 до 1000 Гц приводит к повышению предела выносливости на 10 20%. Снижение частоты нагружения с 30 ¸ 50 до 0,13 Гц приводит к такому же уменьшению предела выносливости.

5.5. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и симметричном цикле

Линейное напряжённое состояние имеет место при осевом растяжении (сжатии) и чистом изгибе. При расчётах выносливости к линейному напряжённому состоянию относят также поперечный изгиб (пренебрегают касательными напряжениями) и кручение (действуют только касательные напряжения).

Далее будут изложены традиционные детерминистические методы расчёта на прочность, в которых характеристики нагруженности и прочности рассматриваются как детерминированные величины, а их случайные вариации при расчёте во внимание не принимаются. Расчёт, согласно этим методам, сводится к вычислениям запасов прочности и сопоставлению их с допустимыми нормативными значениями, устанавливаемыми на основе опыта расчётов и наблюдениями за поведением машин в условиях эксплуатации.

При симметричном цикле коэффициент запаса прочности вычисляется по формуле

, (5.18)

где σ_а – амплитуда нормального напряжения изгиба (растяжения - сжатия) в детали;

К – коэффициент снижения предела выносливости детали:

. (5.19)

Коэффициенты, входящие в (5.19), учитывают: концентрацию напряжений – К_σ; масштабный фактор – К_dσ; состояние поверхности – K_F; технологические меры поверхностного упрочнения – K_υ (см. п.5.4).

Условие прочности:

n_σ ≥ [ n ]. (5.20)

При вычислении касательных напряжений от кручения необходимо в формулах (5.18), (5.19) и (5.20) заменить букву σ на букву τ.

Величина допускаемого коэффициента запаса прочности [ n ], как правило, больше коэффициента, принимаемого при расчёте на статическую нагрузку, и зависит от многих факторов: точности метода расчёта, достоверности определения усилий, однородности материала, уровня технологии изготовления детали, ответственности детали (последствий в случае её катастрофического разрушения) и других обстоятельств. Величину [ n ] назначают конкретные нормы расчёта, ориентировочные значения приведены в табл.13.3.

5.6. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и несимметричном цикле

Методика расчёта изложена в п.5.3. Основа расчёта – диаграмма предельных напряжений Хея (рис.5.9), по которой для произвольного асимметричного цикла можно определить предел выносливости σ_r, а по формуле (5.9) – запас прочности. Но построение диаграммы требует большого количества сложных трудоёмких испытаний, поэтому на практике пользуются схематизированной диаграммой Хея.

Во-первых, учитывается то обстоятельство, что для детали из пластичной стали опасным напряжением при статической нагрузке является не предел прочности (точка В на рис.5.12), а предел текучести. Поэтому на оси абсцисс откладываем предел текучести σ_Т (точка Е) и из этой точки проводим прямую ЕН, наклонную под углом 45⁰ к оси абсцисс. Сумма координат любой точки этой прямой равна σ_Т, т. е. максимальные напряжения цикла в этом случае определяются равенством

σ_max = σ_a + σ_c = σ_T.

Во-вторых, криволинейный участок диаграммы заменяется прямой АС. Таким образом, получаем схематизированную диаграмму предельных напряжений Хея, состоящую из двух прямых: АС и ЕН. Для построения её нужно знать следующие механические характеристики материала: предел выносливости при симметричном цикле σ_-1, предел выносливости при пульсирующем цикле σ₀ и предел текучести при статической нагрузке σ_Т.

Если прямая 01, соответствующая рассчитываемому циклу, пересекает прямую АН, то произойдёт усталостное разрушение детали.

Рис.5.12

Если же прямая 01^I пересекает линию НЕ, то деталь выйдет из строя в результате появления пластических деформаций.

Из рассмотрения схематизированной диаграммы получаем аналитическую зависимость для коэффициента запаса прочности. Точка М соответствует предельному циклу, точка М₁ – рабочему (напряжения в детали σ_а и σ_с).

.

Из точки М₁ проведём прямую М₁L, параллельную АН, тогда ∆ОАМ ∞ ∆OLM₁:

.

Итак, получили

, (5.21)

где ψ = tg β – коэффициент приведения несимметричного цикла к равноопасному симметричному.

Этот коэффициент может быть найден из рассмотрения подобия треугольников АСА₁ и LМ₁L₁:

;

. (5.22)

Формула (5.21) даёт значение коэффициента запаса для гладкого образца. Учёт особенностей детали (концентрация напряжений, размеров, состояния поверхности) осуществляется введением соответствующего коэффициента, причём он относится только к амплитуде цикла:

. (5.23)

При расчёте на действие касательных напряжений от кручения коэффициент запаса определяется по аналогичной формуле

, (5.24)

где

. (5.25)

При расчёте по формулам не надо строить диаграмму и мы не знаем, на каком участке луч 01 её пересекает. Поэтому необходимо определить запас прочности не только по циклическим напряжениям, но и по статической прочности

. (5.26)

По меньшему значению коэффициента запаса прочности проверяем прочность по формуле (5.19).

Необходимо отметить, что в случае отсутствия данных по пределу выносливости при пульсирующем цикле σ₀ можно вместо подсчёта ψ_σ и ψ_τ по формулам (5.22) и (5.25) применять следующие приближённые значения:

углеродистая сталь ψ_σ = 0,1 ¸ 0,2, ψ_τ = 0,05 ¸ 0,1;

легированная сталь ψσ = 0,2 ¸ 0,3, ψτ = 0,1 ¸ 0,15.

5.7. Расчёт на прочность при плоском напряжённом состоянии

Известны многие попытки создания гипотез усталостного разрушения в сложном напряжённом состоянии. Все они сводятся к обобщению известных гипотез прочности и пластичности на случай цикличных напряжений. Для наиболее часто встречающегося на практике случая изгиба с кручением общепринятой является эмпирическая формула

, (5.27)

где n_R – коэффициент запаса усталостной прочности;

n_σ – коэффициент запаса по нормальным напряжениям, найденный по формуле (5.23) в предположении, что τ = 0;

n_τ – коэффициент запаса по касательным напряжениям, найденный по формуле (5.24) в предположении, что σ = 0.

Формулу (5.27) легко преобразовать в условие усталостной прочности

. (5.28)

Условие статической прочности может быть записано в соответствии с III-й теорией прочности в виде

. (5.29)

Ориентировочные значения величин допускаемого значения коэффициента запаса прочности [ n ] приведены в табл.5.3.

Таблица 5.3

Факторы, влияющие на запас прочности	[ n ]
Для расчёта на статическую прочность по пределу текучести Весьма пластичный материал σТ/σПЧ = 0,45 ¸ 0,55 Пластичный материал σТ/σПЧ = 0,55 ¸ 0,70 Малопластичный материал σТ/σПЧ = 0,70 ¸ 0,90 Хрупкий материал	1,2 ¸ 1,5 1,4 ¸ 1,8 1,7 ¸ 2,2 2,0 ¸ 3,0
Для расчёта на усталостную прочность по пределу выносливости При повышенной точности расчёта, однородном материале, широком использовании экспериментальных данных, высоком качестве технологии При недостаточном объёме экспериментальных данных о нагрузках и характеристиках прочности, при ограниченном числе натурных усталостных испытаний, среднем уровне однородности материала, технологии производства и дефектоскопии При малом объёме и отсутствии экспериментальной информации о нагрузках и прочности, при невысоком уровне технологии производства, пониженной однородности материала (литые и сварные детали значительных размеров)	1,3 ¸ 1,5   1,5 ¸ 2,0   2,0 ¸ 3,0

Пример. Проверить прочность вала с кольцевой выточкой, подвергающегося изгибу с кручением (рис.5.13).

Рис.5.13

Дано: D = 110 мм, d = 90 мм, радиус кольцевой выточки r = 10 мм; поверхность вала шлифованная. Материал – углеродистая сталь с характеристиками: σ_ПЧ = 50 кН/см²; σ_Т = 30 кН/см²; σ_-1 = 22 кН/см²; τ_ПЧ = 26 кН/см²; τ_Т = 16 кН/см²; τ_-1 = 12 кН/см². Действующие переменные со времени моменты равны:

Изгибающие M_max = 5 кН∙м; M_min = – 1 кН∙м;

Крутящие M_{к max} = 2 кН∙м; M_{к min} = – 0,5 кН∙м.

Решение. Осевой и полярный моменты сопротивления

W = 0,1 ∙ d³ = 0,1 ∙ 9³ = 72,9 см³;

W_p = 0,2 ∙ d³ = 2W = 145,8 см³.

Определяем максимальные и минимальные номинальные напряжения в опасном сечении вала:

;

;

;

.

Определяем среднее напряжение и амплитуду циклов

;

;

; .

Теоретические коэффициенты концентрации напряжений определяем по графикам, приведённым в справочнике И.А. Биргер, Б.Ф. Шор, Г.Б. Иосилевич «Расчёт на прочность деталей машин» - М.: Машиностроение, 1979.-702 с. Графики показаны на рис.5.14.

а б

Рис. 5.14

При и находим α_σ = 2,0 и α_τ = 1,58. Эффективные коэффициенты концентрации напряжений определяем по формуле (5.15), принимая для среднеуглеродистой стали q = 0,6:

K_σ = 1 + q (α_σ – 1) = 1 +0,6 (2,0 –1) = 1,6:

K_σ = 1 + q (α_τ – 1) = 1 +0,6 (1,58 –1) = 1,35.

Величину масштабного коэффициента находим по табл.5.1. Для d = 90 мм и σ_ПЧ = 50 кН/см²

K_dσ = K_dτ = 0,7.

Коэффициент качества поверхности находим по кривой 2 на рис.5.11:

K_F = 0,95.

Поверхностное упрочнение не применяется, поэтому

К_υ = 1,0.

Далее по формуле (5.19) подсчитываем коэффициент снижения предела выносливости детали:

при изгибе ;

при кручении .

Вычисляем коэффициент запаса. Материал вала в опасном сечении испытывает плоское напряжённое состояние. Поэтому сначала находим частичные коэффициенты запаса по формулам (5.23) и (5.24). Значения ψ_σ и ψ_τ принимаем по приведённым в п.5.6 рекомендациям: ψ_σ = 0,1; ψ_τ = 0,05.

;

.

Общий коэффициент запаса по усталостной прочности вычисляем по формуле (5.28)

.

Коэффициент запаса по статической прочности определяем по формуле (5.29)

.

Получим n_R < n, т.е. коэффициент запаса, равный 2,11, лимитируется усталостной прочностью. Если сравнить его с допускаемыми значениями, приведёнными в табл.5.3, то можно сделать вывод, что прочность вала обеспечена.

Заканчивая главу о прочности при циклических напряжениях, необходимо отметить следующее. Действующие нагрузки и напряжения, возникающие в деталях машин, в большинстве случаев представляют собой случайные функции времени, а характеристики сопротивления усталостности детали (срок службы, предел выносливости) – случайные величины, которым свойственно существенное рассеивание. Поэтому уточнённые методы расчёта усталостной прочности базируются на теории вероятности и математической статистике. Подробно изложены в книге С.В. Серенсена, В.П. Когаева и Р.М. Шнейдеровича «Несущая способность и расчёт деталей машин на прочность»: Руководство и справочное пособие. – М.: Машиностроение, 1975.