Энергетические теоремы

В предыдущих параграфах настоящей главы определялись перемещения в балках с прямой осью. Ранее определялись перемещения прямого стержня при растяжении и кручении. Рассмотрим теперь универсальный метод, позволяющий определять перемещения в плоском или пространственном стержне, а также в кривом стержне. Этот метод – метод Мора – удобен также и для расчёта статически неопределимых балок, о чём будет сказано в главе 2. Метод Мора основан на энергетических теоремах, которые рассматриваются ниже.

1.4.1.Понятие о действительном и возможном перемещениях. Работа внешних сил

Условимся относительно обозначений. Перемещение какой-либо точки по определённому направлению от какой-либо силы или группы сил обозначается греческой буквой ∆, а перемещение от силы, равной единице, – буквой δ. Напоминаем, что перемещения определяются в линейно деформируемых системах (справедлив закон Гука), подчиняющихся принципу суперпозиции.

Различают действительное и возможное перемещения. К балке статически прикладываем силу Р (рис.1.9,а). Точка приложения этой силы перемещается на величину ∆_рр. Первый индекс показывает точку и направление перемещения, второй – причину, вызвавшую данное перемещение. На рис.1.9,б показан график зависимости перемещений ∆ от изменяющейся во времени силы P_t. ∆_рр – действительное перемещение точки приложения силы Р, вызванное её действием. Заштрихованная площадь треугольника определяет действительную работу, затраченную внешней силой на деформирование объекта

. (1.14)

Формула (1.14) представляет собой аналитическое выражение теоремы Клапейрона: действительная работа внешней силы равна половине произведения силы на перемещение точки её приложения по её направлению.

а б

Рис.1.9

Под возможным перемещением будем понимать бесконечно малое перемещение, допускаемое имеющимися связями и не зависящее от заданной системы сил. Рассмотрим балку, нагруженную силой Р (рис.1.10) и догрузим её силой К. Так как первоначальное перемещение ∆_рр от действия силы Р малое, то добавочное перемещение ∆_рк можно считать независимым от силы Р, т.е. ∆_рк – возможное перемещение (график на рис.1.10,б).

Возможной (виртуальной) работой силы Р называем работу этой силы на малом возможном перемещении. Виртуальная работа равна площади заштрихованного прямоугольника

. (1.15)

а б

Рис.1.10

Полная работа внешних сил для балки, показанной на рис.1.10,а, будет равна:

. (а)

Изменим порядок приложения сил (рис.1.11).

Рис.1.11

При таком варианте нагружения величина полной работы внешних сил будет равна:

. (б)

Ясно, что при любом порядке приложения сил величина полной работы одна и та же. Приравняв правые части формул (а) и (б), получим аналитическое выражение теоремы о взаимности возможных работ (теоремы Бетти):

Р∆_рк = К∆_кр. (1.16)

В случае равенства сил Р = К получим выражение теоремы о взаимности возможных перемещений (теоремы Максвелла):

∆_рк = ∆_кр . (1.17)

Если внешние силы не только равны друг другу, но каждая из них равна единице, формулу (1.17) можно переписать в виде

δ_ij = δ_ji, (1.18)

где i и j – номера единичных сил.

Формула (1.18) очень важна для расчёта статически неопределимых балок, о чём пойдёт речь в главе 2.

Можно заметить, что график на рис.1.9,б точно повторится и для других деформаций стержня: растяжение – P_t = N и ∆ = ∆ℓ; кручение – P_t = М_кр и ∆ = φ; изгиб при действии сосредоточенного момента – P_t = М и ∆ = θ. Поэтому во всех приведённых выше рассуждениях силу Р можно трактовать как обобщённую силу, а перемещение ∆ – как обобщённое перемещение.

Под обобщённой силой подразумевают нагрузку в виде сосредоточенного усилия или момента, которые деформируют систему в условиях статического равновесия и совершают работу на соответствующих обобщённых перемещениях.

Под обобщённым перемещением понимают макродеформацию объекта в той точке, где приложена обобщённая сила.

Теоремы Бетти и Максвелла находят широкое применение, как в научных исследованиях, так и на практике. Так, например, в методе конечных элементов матрица жёсткости оказывается симметричной относительно главной диагонали, т.е. δ_ij = δ_ji, что существенно упрощает решение. Пользу применения теоремы Максвелла на практике можно иллюстрировать следующим примером. Допустим требуется измерить перемещения в нескольких точках по длине. Можно в этих точках поставить много индикаторов, рисунок слева, можно же ограничиться одним индикатором, рисунок справа, а силу перемещать по точкам.

Как видно из этих рисунков, поместив силу P в точке 3, на конце балки получим перемещение v₁₃, которое равно v₃₁.

1.4.2.Потенциальная энергия стержня.

Теоремы Кастильяно и Лагранжа.

График, приведённый на рис.1.9,б, представляет собой закон Гука для того или иного вида деформации стержня. Работа, затраченная на деформирование объекта, определяется формулой теоремы Клапейрона (1.14). При отсутствии энергетических потерь и постоянных внутренних усилий она равна потенциальной энергии деформации стержня U:

- для осевой деформации U = 0,5N∆ℓ; ;

- для кручения U = 0,5М_крφ; ; (1.19)

- для изгиба U = 0,5Мθ; .

Если закон Гука не соблюдается, что, например, имеет место при расчёте устойчивости стержней, то вместо диаграммы приведённой на рис.1.9 будем иметь диаграмму, рис.1.12.

	Здесь U – представляет собой потенциальную энергию, а U* – так называемую дополнительную работу. Дадим возможное перемещение ∂Δ, тогда получим приращение потенциальной энергии ∂U. Из чертежа видно, что ∂U = P∂Δ, откуда получаем соотношение (1.20)
Рис.1.12

Это и есть теорема Лагранжа.

С другой стороны, если в соответствии с принципом возможных изменений напряжённого состояния дадим приращение внешней силе ∂P, то как видно из чертежа, . Отсюда получаем теорему Кастильяно

(1.21)

Поскольку в сопротивлении материалов в основном рассматриваются материалы, подчиняющиеся закону Гука, где U^*=U, то теорема Кастильяно записывается следующей формулой

(1.22)

Будем называть её рабочей формулой.

Потенциальная энергия изгиба стержня вычисляется по формуле

(1.23)

Аналогичный (рис.1.6) график будет иметь место, когда работу совершает момент на угле поворота, тогда по вертикальной оси откладываем момент внешних сил M, а по горизонтальной оси угол θ. Так что в формуле (1.22) ∂P - представляем собой обобщённую силу (либо сосредоточенную силу, либо момент), а Δ – обобщённое перемещение (либо прогиб , либо угол поворота).

Рассмотрим несколько примеров использования теоремы Кастильно.

Пример 1.

Определить перемещение балки в точке B, где приложена сила P.

; ;

;

Пример 2.

Определить перемещение в точке B, рис.1.13 с помощью теоремы Кастильяно.

Рис.1.13

Для решения задачи в точке B вводим фиктивную

силу и вычисляем величину изгибающего момента , где

, (1.24)

Одновременно подготовим производные

,

Вычисляем потенциальную энергию

Подставляем в формулу Кастильяно

Подставляя сюда и приравнивая фиктивную силу и соответственно , получаем

Результат совпадает с расчётом по методу начальных параметров (пример 1). Полученный знак «+» свидетельствует о том, что прогиб совпадает с направлением силы .