Глава 3. Сложное сопротивление прямого бруса

3.1. Общие понятия

В предыдущих главах рассматривались простые случаи нагружения прямого бруса – осевое растяжение (сжатие), плоский поперечный изгиб, кручение.

Возможны более сложные воздействия, при которых в поперечном сечении возникают до шести компонентов внутренних сил. Такое нагружение называется сложным сопротивлением. Удобно рассматривать сложное сопротивление как сочетание простых видов нагружения – растяжения, изгиба и кручения, что возможно для жёстких стержней, к которым применим принцип суперпозиции.

Далее рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи сложного сопротивления.

3.2. Косой изгиб

Это такой случай изгиба бруса, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей инерции поперечного сечения.

Рассмотрим балку, заделанную одним концом, на которую действует сила Р, приложенная в центре тяжести концевого сечения под углом φ к оси 0у (рис.3.1,а).

Разложим силу Р на две составляющие по осям координат:

(3.1)

а б

Рис.3.1

В каждом сечении стержня одновременно действуют два изгибающих момента, которые создают изгиб в двух главных плоскостях:

(3.2)

Знак изгибающего момента устанавливается по знаку деформации в первом квадранте. От момента М_z (силы Р_у) верхняя часть бруса удлиняется, нижняя - укорачивается. От момента М_у (силы Р_z) левая часть бруса удлиняется, правая - укорачивается.

Для определения напряжения в произвольной точке, лежащей в первом квадранте, в соответствии с принципом независимости действия сил воспользуемся полученной ранее формулой для нормального напряжения при плоском изгибе (формула (5.18) в первой части курса)

. (3.3)

Знаки напряжений совпадают со знаками изгибающих моментов. Подставляя в формулу (3.3) координаты любой точки с учётом их знаков, получим значение напряжения в этой точке. Для угловых точек модули координат у и z приобретают максимальные значения, поэтому формулу (3.3) можно представить в виде

, (3.4)

где W_z и W_z – моменты сопротивления сечения, i – номер угловой точки.

Знаки устанавливаются по виду деформации от соответствующего изгибающего момента (удлинение – «+», укорочение – «–»). Напомним формулы для определения геометрических характеристик прямоугольника:

, , , .

На рис.3.2,а показано поперечное сечение рассматриваемого бруса, в углах расставлены знаки деформаций в соответствии с физическим смыслом задачи. Подсчитаны напряжения в угловых точках

(3.5)

а б

Рис.3.2

По значениям напряжений в угловых точках построили эпюры напряжений по граням сечения (рис.3.2,б). При этом считаем, что . Снеся на грани сечения нулевые точки эпюр напряжений, провели нейтральную или нулевую линию nn – геометрическое место точек с нулевыми напряжениями. Наибольшее и наименьшее напряжения имеют место в точках, наиболее удалённых от нейтральной линии – в точках 1 и 3.

Таким образом, условие прочности при косом изгибе профиля с углами (прямоугольника, двутавра, швеллера) имеет вид

. (3.6)

Положение нейтральной линии можно определить не только графически (рис.3.2,б), но и аналитически. Для этого надо приравнять нулю напряжения в точках, принадлежащих этой линии. Пусть текущие координаты нулевой линии будут z_n и y_n, тогда, применяя формулу (3.3), получим

. (3.7)

Уравнение нейтральной линии (3.7) – это уравнение прямой, проходящей через начало координат. Находим из него

,

. (3.8)

Получили, что нейтральная линия проходит через первую четверть, β – угол между осью z и нейтральной линией.

Если сечение не имеет углов, то для проверки прочности необходимо сначала найти положение нейтральной линии, затем координаты наиболее удалённой от неё точки, затем определить напряжение в этой точке по формуле (3.3) и сравнить его с допускаемым. Необходимо помнить, что знаки в формуле (3.3) ставятся в каждом конкретном случае свои – по знаку деформации в первой четверти.

Найдём перемещение (прогиб) свободного конца бруса. Сначала находим прогибы по направлению главных осей:

, . (3.9)

Суммарный прогиб можно найти как геометрическую сумму

. (3.10)

Найдём теперь направление перемещения υ. Для этого определим значение угла наклона этого перемещения к вертикали:

,

. (3.11)

Формула (3.11) идентична формуле (3.8). Это позволяет сделать заключение, что γ = β. Следовательно, направление прогиба перпендикулярно нейтральной линии (рис.3.3,а). В то же время направление прогиба не совпадает с направлением действующей силы, поэтому изгиб называют косым. Нулевая линия не перпендикулярна силовой линии.

а б

Рис.3.3

В тех сечениях, у которых моменты инерции относительно главных центральных осей равны друг другу (J_z = J_y), нулевая и силовая линии пересекаются под углом 90⁰, а направление прогиба совпадает с силовой линией (рис.3.3,б). К таким сечениям относятся круг, квадрат и другие симметричные профили. В балках с таким сечением косой изгиб невозможен.

3.3. Косой изгиб с растяжением (сжатием)

Это нагружение получается в случае, когда сила Р приложена не в плоскости поперечного сечения (рис.3.4,а). К поперечным силам P_z и P_у добавляется продольная сила N = P_x, от которой во всех точках поперечного сечения возникает нормальное напряжение. В произвольной точке сечения

. (3.12)

Знаки деформации от каждого внутреннего усилия показаны на рис.3.4,б. Опасная точка – точка 1. Условие прочности

. (3.13)

а б

Рис.3.4

Изгиб в двух плоскостях с растяжением встречается как в паровых, так и в гидравлических турбинах, где лопасть (лопатка) нагружена давлением пара или воды (поперечная нагрузка) и центробежным усилием (продольная растягивающая нагрузка).

При расчёте на изгиб со сжатием напряжение, вызванное продольной силой, подставляется в формулы (3.12) и (3.13) со знаком «–» (σ = –N/F). Ещё раз обращаем внимание на то обстоятельство, что такой подход справедлив только для очень жёстких стержней, у которых вследствие малости прогибов от поперечных сил можно пренебречь дополнительным изгибающим моментом от продольной силы. Для недостаточно жёстких стержней принцип независимости действия сил (или принцип суперпозиции) использован быть не может.

3.4. Внецентренное растяжение (сжатие)

Имеет место при нагружении стержня силой, параллельной продольной оси и не совпадающей с центром тяжести сечения. Эта задача часто встречается в машиностроении (расчёт станин сверлильного или фрезерного станков) и в строительстве (расчёт опор мостов и колонн зданий). Такое деформирование стержня может считаться частным случаем рассмотренного в предыдущем параграфе совместного действия поперечных и продольной сил.

Рассмотрим внецентренное растяжение жёсткого стержня (рис.3.5,а), имеющего поперечное сечение произвольной формы без углов. Точка приложения силы находится в первой четверти, координаты её – z_p и y_p.

Рис.3.5

Перенесём силу в центр тяжести сечения в два приёма. Сначала – в точку С на оси 0z (рис.3.5,б). Если в этой точке приложить две равные и противоположно направленные силы Р, равновесие не нарушится. Дважды зачёркнутые силы создают момент M_z = P ∙ y_p. Затем переносим силу в центр тяжести сечения (рис.3.5,в) таким же способом – возникает момент M_y = P ∙ z_p. Таким образом, при внецентренном растяжении в поперечном сечении стержня имеют место три усилия: продольная сила и два изгибающих момента (рис.3.5,г)

. (3.14)

В произвольной точке первой четверти от всех этих усилий возникнут растягивающие напряжения, поэтому нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения будет

. (3.15)

Подставляя (3.14) в (3.15), получим

. (3.16)

При определении напряжения в любой точке сечения необходимо координаты этой точки z и y подставлять со своими знаками. Обратим внимание на то обстоятельство, что в формуле (3.16) отсутствует координата х, т.е. напряжение постоянно по длине стержня.

Преобразуем формулу (3.16), вынеся за скобку P/F,

.

Величины, стоящие в знаменателе второго и третьего слагаемых, представляют собой квадраты радиусов инерции сечения (см. формулу (4.21) на с.66 Ч.1):

, .

Следовательно,

(3.17)

Для получения уравнения нейтральной линии используем формулу (3.17). Обозначим координаты любой точки нулевой линии z_n и y_n, подставим в уравнение (3.17) и приравняем напряжение к нулю. После сокращения на P/F получим уравнение нейтральной линии

. (3.18)

Это уравнение прямой, не проходящей через начало координат. Из него можно определить отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат. Обозначим эти отрезки (рис.3.6) через z₀ и у₀. Если положить z_n = 0, то y_n = у₀, а если y_n = 0, то z_n = z₀. Из уравнения (3.18)

, .

Решая эти уравнения, получим отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат:

, . (3.19)

Теперь, имея положение нулевой линии, можно найти наиболее удалённые от неё точки. Для этого необходимо провести касательные к сечению, параллельные нулевой линии. Подставим координаты точки С в формулу (3.16) и получим σ_max; координаты точки D – получим σ_min. Если материал имеет неодинаковую прочность на растяжение и сжатие, условия прочности следующие:

. (3.20)

Рис.3.6

Для сечения с углами (рис.3.7) условие прочности можно записать, не прибегая к определению положения нейтральной линии:

. (3.21)

Рис.3.7

В нашем случае:

, . , , .

Максимальное напряжение имеет место во всех точках ребра СС′, минимальное – во всех точках ребра DD′.

В формулах (3.20) и (3.21) [ σ ₊] – допускаемое напряжение на растяжение; [ σ _-] – допускаемое напряжение на сжатие.

Рассмотрим теперь частный случай внецентренного сжатия колонны прямоугольного сечения, когда одна из координат точки приложения силы равна нулю. Пусть сила расположена на оси 0у (z_p = 0, y_p = ℮), как это показано на рис.3.8. Подставляя эти значения в формулу (3.20), получим для крайних волокон

. (3.22)

Рис.3.8

Исследуем, как меняется распределение напряжений в поперечном сечении при движении силы Р по оси 0у.

Из формулы (3.22) следует, что при ℮ = 0 напряжения во всём сечении одинаковые сжимающие. Если , то напряжения во всём сечении одного знака. В частности, когда ℮ = h/6, напряжения в точках А и В равны: σ_А = –2P/F, σ_В = 0. Если, наконец, ℮ > h/6, то нейтральная ось расположена внутри сечения. Она разделяет его на две части: в одной – сжатие, в другой – растяжение. Таким образом, если не хотят, чтобы в поперечном сечении появлялись растягивающие напряжения, нельзя допускать эксцентриситет силы больше, чем h/6. Это бывает необходимо, когда колонна изготавливается из материала с низкой прочностью на растяжение (например, бетона, камня, кирпичной кладки).

Можно найти так называемое ядро сечения – область вокруг центра тяжести, характерную тем, что всякая продольная сила, приложенная внутри этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака. Всякая сжимающая сила, приложенная где-либо внутри ядра сечения, вызывает во всём сечении только сжимающие напряжения, растягивающая – только растягивающие напряжения.

Для прямоугольника мы фактически нашли границы ядра сечения (см.рис.3.8): надо от центра тяжести отложить по осям в обе стороны расстояния, равные одной шестой длины стороны, и соединить точки прямыми линиями (рис.3.9,а).

Найдём границы ядра сечения для круга. Ясно, что это тоже будет круг. Если приложить силу Р в точке С на границе ядра сечения, то нулевая линия будет касательной к контуру и перпендикулярной оси 0z (рис.3.9,б). Из формулы (3.19) следует

, , , z_p = ℮ = .

Получили, что для круга ядро сечения – это круг радиусом .

а б

Рис.3.9

3.5. Изгиб с кручением круглого стержня

Такой вид деформирования стержней очень часто встречается в машиностроении. По этой схеме работает подавляющее большинство валов машин: паровых и газовых турбин, двигателей внутреннего сгорания, редукторов, электродвигателей и прочих.

На рис.3.10,а приведена схема нагружения стержня, а на рис.3.10,б – эпюры изгибающих и крутящего моментов. Изгибающий момент в опасном сечении

, (3.23)

где , . Поскольку при изгибе круглого стержня косой изгиб невозможен, можно найти изгибающий момент проще – . Однако, такой подход пригоден для простой расчётной схемы на рис.3.10,а. При расчёте валов машин в разных сечениях вала нагрузки действуют по различным направлениям. Поэтому приходится раскладывать силы на вертикальную и горизонтальную оси, строить эпюры изгибающих моментов, действующих в вертикальной и горизонтальной плоскостях, и находить изгибающий момент геометрическим суммированием по формуле (3.23).

а б

Рис.3.10

В опасном сечении стержня (у заделки) от изгиба возникают нормальные напряжения, от кручения – касательные. Из графиков их распределения (рис.3.11,а) видно, что максимальных значений они достигают в одной точке – точке С (или точке D) – крайних точках сечения. В этой точке имеет место плоское напряжённое состояние (рис.3.11,б).

а б

Рис.3.11

В опасной точке

, (3.24)

. (3.25)

Проверку прочности необходимо делать по III-й или по IV-й теориям прочности. Напряженное состояние в точке С идентично напряжённому состоянию при поперечном изгибе, поэтому используем полученные в первой части курса формулы (5.42) и (5.43)

, (3.26)

. (3.27)

Если в условия прочности подставить (3.24) и (3.25), учтя при этом, что W_p = 2W_z,, получим следующие выражения для условий прочности круглого стержня при изгибе с кручением:

, (3.28)

. (3.29)

Выражения (3.28) и (3.29) удобно представлять в форме, аналогичной условию прочности по нормальному напряжению при изгибе (формула (5.20) на с.79 Ч.1)

, (3.30)

. (3.31)

Очевидно, что значения расчётных моментов по III-й (теории наибольших касательных напряжений) и IV-й (энергетической) теориям прочности отличаются незначительно. Запас прочности по III-й теории чуть больше (примерно на 5%).

Рассмотрим пример расчёта вала редуктора (рис.3.12,а). Мощность, передаваемая валом, N = 73,5 кВт; частота вращения ω = 104,7 с^-1 (1000 об/мин); допускаемое напряжение [σ] = 12 кН/см². В сечениях С и D расположены прямозубые зубчатые зацепления, усилия в которых показаны на рис.3.12,б. Необходимо определить диаметр вала d.

Определим усилия, действующие на вал. Крутящий момент:

Усилия в зубчатых зацеплениях:

, , .

а б

Рис.3.12

Составляющие усилий в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис.3.13):

Рис.3.13

PCY = PCZ = PC ∙ sin 450 = 14 ∙ 0,707 = 9,9 кН; PDY = PD ∙ cos 300 = 7 ∙ 0,866 = 6,1 кН; PDZ = PD ∙ sin 300 = 7 ∙ 0,5 = 3,5 кН.

Построим эпюры изгибающих и крутящего моментов (рис.3.14).

Рис.3.14

∑МА = – 9,9∙10 – 6,1∙40 + RB ∙60=0; RВ = 5,7 кН; ∑у = RA – 9,9 – 6,1 + 5,7=0; RA = 10,3 кН. ∑МА = 9,9∙10 – 3,5∙40 + RB∙60 = 0; RВ = 0,7 кН; ∑у = – RA + 9,9 – 3,5 + 0,7 = 0; RA = 7,1 кН. .

Далее найдём расчётный момент по первой формуле (3.31) = = 142,1 кН∙см. Затем из условия прочности (3.30) найдём диаметр

Округляем в большую сторону до ближайшего стандартного. Принимаем d = 50 мм.

Отметим, что в нашем расчёте не учитывались конструктивные особенности вала (переходы диаметров, шпоночные канавки и пр.) и цикличность напряжений во вращающемся вале. Приведённый расчёт на статическое действие нагрузки является основным, по его результатам осуществляют уточнённый расчёт, учитывающий конструктивные особенности вала.

3.6. Изгиб с кручением прямоугольного стержня

Встречается, например, при расчёте коленчатых валов двигателей внутреннего сгорания. Рассмотрим элемент коленчатого вала (рис.3.15), состоящего из двух участков. Первый участок – круглый стержень (шейка вала), защемлённый одним концом с заданной на свободном конце нагрузкой. Второй участок – прямоугольный стержень (щека вала), также заделанный одним концом, нагрузка передаётся от круглого стержня. Задано допускаемое напряжение [σ] и соотношение размеров прямоугольника h/b. Требуется определить размеры поперечных сечений.

Рис.3.15

Сначала рассчитываем круглый стержень, эпюры усилий – на рис.3.16,а.

Первый стержень работает на растяжение с изгибом и кручением. Нормальное напряжение возникает от растяжения и изгиба

. (3.32)

От кручения – касательное напряжение

. (3.33)

Проверка прочности – по III-й и IV-й теориям прочности по формулам (3.26) или (3.27). Используем теорию наибольших касательных напряжений

. (3.34)

а б

Рис.3.16

Поскольку в формуле (3.32) площадь поперечного сечения пропорциональна квадрату диаметра (F = πd²/4), а момент сопротивления W – кубу диаметра (W = 0,1d³), при составлении выражения (3.34) получится кубическое уравнение. Чтобы избежать решения кубического уравнения и учитывая, что напряжения от растяжения, как правило, меньше напряжений от изгиба, можно пренебречь первым слагаемым в формуле (3.32). Тогда диаметр стержня легко определить из формул (3.30) и (3.31):

. (3.35)

Затем нужно полученное значение чуть увеличить в большую сторону и проверить прочность с учётом растяжения по формулам (3.32), (3.33) и (3.34).

Размеры второго прямоугольного стержня определим из условия прочности по нормальным напряжениям, а затем проверим прочность с учётом касательных напряжений. Наибольшее нормальное напряжение имеет место в угловой точке опасного сечения, положение которого определяется по эпюрам усилий (рис.3.16,б). Перед построением эпюр силы переносятся в начало второго стержня. Положение опасной точки определяется по рис.3.17,а, на котором показаны знаки деформаций.

а б

Рис.3.17

Опасная точка – точка А, в ней наибольшее по абсолютной величине напряжение. Считая металл равнопрочным на растяжение и сжатие, используем условие прочности (3.13)

. (3.36)

Чтобы не решать кубическое уравнение, сначала пренебрегаем первым слагаемым и находим размеры b и h. Затем округляем до целых значений в большую сторону и проверяем прочность по (3.36).

Наибольшее касательное напряжение от кручения имеет место в середине длинных сторон и находится по формуле (7.19) первой части курса (рис.3.17,б)

. (3.37)

Из двух точек В и С необходимо проверить прочность в той, в которой больше нормальные напряжения. В точке В

. (3.38)

При вычислении касательного напряжения можно учесть и касательное напряжение от поперечной силы Р, определяемое по формуле Журавского (5.29) первой части курса. Итак, в точке В

. (3.39)

Далее проверяем прочность по (3.34).

В середине коротких сторон в точках Е и D касательное напряжение от кручения несколько меньше максимального

τ = γτ_max. (3.40)

В точке D нормальное напряжение больше, чем в точке Е (рис.3.17,а), поэтому находим

, .

И проверяем прочность по (3.34):

.

Знак в формулах для τ зависит от того, совпадает ли направление поперечной силы с направлением касательного напряжения от кручения (см.рис.3.16,б и рис.3.17). Впрочем, касательное напряжение от поперечной силы можно и не учитывать. В случае невыполнения условия прочности необходимо увеличить размеры поперечного сечения и повторить расчёт.