Глава 4. Устойчивость сжатых стержней

4.1. Основные понятия

Изучая сжатие стержней, мы можем наблюдать качественно различные картины деформирования. При возрастании сжимающей силы короткий «толстый» стержень будет сплющиваться (рис.4.1,а) в то время, как длинный «тонкий» стержень в какой-то момент изогнётся (рис.4.1,б) и сломается. Произошла потеря устойчивости.

Устойчивость – это способность сохранять первоначально заданную форму равновесия. Если малые возмущения вызовут малые отклонения от расчётного (невозмущённого) состояния, то это состояние системы является устойчивым.

а б Рис.4.1

Наоборот, если при малых возмущениях возникнут большие отклонения системы от расчётного состояния, то последнее является неустойчивым.

Наглядным примером может служить поведение тяжёлого шарика, лежащего на различных поверхностях (рис.4.2). Если шарик лежит на вогнутой цилиндрической поверхности (рис.4.2, а), то при любом малом отклонении он стремится вернуться в исходное состояние, следовательно, равновесие шарика устойчивое. Если шарик лежит на плоскости (рис.4.2, б), то при малом отклонении он остаётся в новом положении, следовательно, равновесие шарика безразличное. Наконец, если попытаться установить шарик на выпуклую цилиндрическую поверхность (рис.4.2, в), он обязательно скатится – равновесие неустойчивое.

а б в

Рис.4.2

Шарик иллюстрирует поведение сжатого стержня (рис.4.3). По мере роста силы можно отметить три характерные ситуации в зависимости от значения силы: Р₁ < Р_кр, Р₂ = Р_кр и Р₃ > Р_кр. Р_кр – критическая сила.

а б в

Рис.4.3

Если Р < Р_кр, то отклоняя стержень какой-либо силой и затем устраняя её, возбуждаем затухающее колебательное движение около первоначального прямолинейного положения – устойчива прямолинейная форма равновесия (рис.4.3,а). Чем ближе Р к Р_кр, тем легче отклонить стержень от его прямолинейного положения и тем медленнее он возвращается в исходное положение. При Р = Р_кр стержень оказывается в состоянии безразличного равновесия (рис.4.3,б). Это означает, что наряду с прямолинейной становится возможной и бесконечно близкая к ней искривлённая форма равновесия. Возникновение безразличного состояния равновесия рассматриваем как потерю устойчивости прямолинейной формы равновесия. При Р > Р_кр (рис.4.3,в) становится устойчивой криволинейная форма равновесия. Это явление называют ещё продольным изгибом.

Продольный изгиб опасен тем, что происходит быстрое нарастание прогиба при малом нарастании сжимающей силы. Прогибы и нагрузка связаны между собой нелинейной зависимостью. Быстрое нарастание прогибов приводит к быстрому нарастанию напряжений от изгиба и к разрушению. Продольный изгиб (потеря устойчивости) – это катастрофа для конструкции.

История техники знает немало случаев крушения сооружений из-за неправильного расчёта их элементов на устойчивость. Например, крушение Квебекского моста через реку Святого Лаврентия в 1907 г. – погибли 74 человека, 9000 тонн металлоконструкций пришло в негодность.

Потеря устойчивости как явление природы отличается большим многообразием (рис.4.4). Цилиндрическая оболочка под действием сжимающего гидростатического давления (рис.4.4,а) при q > q_кр сплющивается и превращается в эллипс.

На рис.4.4,б показана высокая балка, испытывающая изгиб в вертикальной плоскости (плоский изгиб). По достижении силой критического значения плоская форма изгиба становится неустойчивой, появляются дополнительный изгиб в горизонтальной плоскости и кручение – балка опрокидывается.

а б в г

Рис.4.4

На рис.4.4,в показана пологая мембрана под действием силы Р, приложенной навстречу выпуклости. По достижении силой значения Р_кр происходит потеря устойчивости – мгновенное прощёлкивание мембраны, выпуклость её оказывается обращённой в сторону, противоположную первоначальному направлению. Новая форма устойчивого равновесия не является смежной, есть конечная разница в прогибах, соответствующих им.

Ещё один случай – потеря устойчивости под действием следящей силы (рис.4.4,г): при любой деформации стержня сила направлена вдоль касательной к его оси («следит» за деформацией). Обычно сила не меняет направление (рис.4.1,б). Можно сказать, что это расчётная схема ракеты или торпеды. По достижении силой критического значения прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой, а новой устойчивой формы равновесия не возникает – система переходит в состояние колебательного движения с возрастающей амплитудой.

Ниже рассмотрим самую простую и в то же время самую распространённую в технике задачу об устойчивости прямолинейных сжатых стержней.

4.2. Определение критической силы методом Эйлера

Из сказанного в п.4.1 следует, что при расчёте устойчивости самым важным является определение критической нагрузки, вызывающей потерю устойчивости. Может также представлять интерес полное описание закритического поведения.

Для исследования устойчивости равновесия упругих систем имеется несколько методов. Наиболее универсальным является динамический метод, основанный на изучении колебаний системы вблизи заданного положения равновесия. Однако подавляющее большинство инженерных задач может быть решено более простым статическим методом, предложенным великим Л.Эйлером в 1744 г.

По определению Эйлера, критической силой называется «сила, требующаяся для самого малого наклонения колонны». Рассмотрим шарнирно-опёртый центрально-сжатый стержень постоянного сечения в слегка изогнутом состоянии (рис.4.5,а).

а б

Рис.4.5

Предполагая, что деформация стержня упругая (напряжения не превышают предел пропорциональности), можно воспользоваться приближённым дифференциальным уравнением (1.4) изогнутой оси:

, (4.1)

где J_min – наименьший момент инерции стержня, так как очевидно, что изгиб произойдёт в плоскости наименьшей жёсткости.

Изгибающий момент в произвольном сечении (рис.4.5,б)

|М| = Р_крυ.

Учитывая, что знаки момента и второй производной прогиба противоположны при любом направлении оси υ, получим

,

или

. (4.2)

Введём обозначение

, (4.3)

и запишем уравнение (4.2) следующим образом:

. (4.4)

Мы получили однородное линейное дифференциальное уравнение, общий интеграл которого известен:

υ = A sin kx + B cos kx. (4.5)

Постоянные интегрирования А и В должны удовлетворять граничным условиям:

· при х = 0 Þ υ = 0;

· при х = ℓ Þ υ = 0.

Из первого условия

0 = A sin 0 + B cos 0 = B ∙1, т.е. В = 0.

Из второго условия

0 = A sin kℓ.

Это условие выполняется в двух случаях: А = 0 или sin kℓ = 0. Первый случай нас не интересует, так как при А = 0 стержень остаётся прямолинейным. Криволинейная форма равновесия возможна при sin kℓ = 0.

Корни этого уравнения

kℓ = 0, π, 2π, 3π, 4π… (4.6)

Наименьшее значение критической силы будет при kℓ = π. Таким образом,

. (4.7)

Подставим (4.7) в (4.3) и получим формулу Эйлера

. (4.8)

Выражение (4.6) фактически даёт не одно, а множество значений критической силы. Каждой силе соответствует своя форма равновесия (рис.4.6):

, (4.9)

где n = 1, 2, 3, 4…

При первой критической силе стержень изгибается по одной полуволне синусоиды, а при всех последующих число полуволн равно номеру критической силы. Потеря устойчивости в форме двух или более полуволн синусоиды возможна только в случае установки в соответствующих местах стержня ограничителей перемещения.

Рис.4.6

4.3. Зависимость критической силы от способа закрепления концов стержня

Чтобы получить значение критической силы для стержней с иным закреплением концов, чем у стержня в п.4.2, необходимо провести своё решение аналогично тому, как это сделано для шарнирно-опёртого стержня. Можно обойтись без аналитического решения и определить критическую силу из чисто геометрических соображений.

Так, например, стержень с одним защемлённым концом изгибается по кривой, представляющей собой половину полуволны синусоиды для шарнирно-опёртого стержня (рис.4.7,а).

а б в

Рис.4.7

Для стержня с одним заделанным и другим шарнирно-опёртым концами (рис.4.7,б) длина полуволны синусоиды, замеренная между шарнирной опорой и точкой перегиба изогнутой оси, составит 0,7 длины стержня.

Для стержня с двумя заделанными концами (рис.4.7,в) длина полуволны синусоиды, замеренная между двумя точками перегиба, составит половину длины стержня.

Для всех случаев, рассмотренных выше, критическую силу можно определять по обобщённой формуле Эйлера

, (4.10)

где ℓ₀ = μℓ – приведённая длина;

μ – коэффициент приведения длины;

ℓ – фактическая длина стержня.

Приведённая длина может быть истолкована как длина некоторого виртуального шарнирно-опёртого стержня, критическая сила для которого равна критической силе для заданного стержня.

Коэффициент приведения длины определяем по рис.4.7 или по табл.4.1, в которой стержни расположены по мере возрастания жёсткости опор.

Таблица 4.1

4.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Кривая критических напряжений

Формула Эйлера, полученная 260 лет назад, долгое время являлась предметом дискуссий, продолжавшихся до первых десятилетий XIX века. Причиной споров являлось то обстоятельство, что она не всегда подтверждалась экспериментами. Были даже аварии мостов в связи с потерей устойчивости раскосов ферм, рассчитанных по формуле Эйлера. А дело было в том, что инженеры того времени не обратили внимание на некоторые ограничения по применению этой формулы, которые автор специально не оговаривал.

Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии. Поэтому пользоваться этой формулой можно лишь в том случае, если справедлив закон Гука, т.е. пока критическое напряжение (напряжение сжатия, соответствующее критической силе) не превышает предела пропорциональности.

. (4.11)

Если прямолинейная форма равновесия стержня остаётся устойчивой и при напряжениях, превышающих предел пропорциональности, то дифференциальное уравнение (4.1) не пригодно для описания изгиба при потере устойчивости.

Выведем формулу для критического напряжения σ_кр. Подставим (4.10) в (4.11) и получим

, (4.12)

где – квадрат наименьшего радиуса инерции стержня (см.(4.21) в первой части).

Вводя безразмерную величину

, (4.13)

называемую гибкостью стержня, окончательно получим:

. (4.14)

Из условия применимости формулы Эйлера (4.11) имеем:

,

и, следовательно,

. (4.15)

Найдём значение λ_пред для стали марки Ст3 (самая распространённая пластичная сталь, из которой делают прокатные профили, металлоконструкции зданий и сооружений): Е = 2∙10⁴ кН/см², σ_ПЦ = 20 кН/см².

.

Таким образом, формула Эйлера справедлива только для гибких стержней.

Однако явление продольного изгиба существует не только при упругих, но и при упругопластических деформациях, когда критические напряжения больше предела пропорциональности σ_ПЦ, но меньше предела текучести σ_Т. Построим график зависимости критических напряжений σ_кр от гибкости λ для стержней из стали Ст3 (рис.4.8).

Рис.4.8

Сначала построим кривую – гиперболу Эйлера – по формуле (4.14). Она начинается от точки с координатами σ_ПЦ, λ = 100 и уходит вправо в область больших гибкостей. Это область упругих деформаций.

Стержни малой гибкости (короткие и «толстые») потерять устойчивость не могут, а могут разрушиться (достигнуть предельного состояния) в общепринятом смысле (см.рис.4.1,а). Поэтому в диапазоне гибкостей 0 < λ ≤ 40 σ_кр = σ_Т – область пластических деформаций.

В диапазоне средних гибкостей 40 < λ < 100 кривая критических напряжений представляет собой прямую линию, соединяющую крайние точки σ_кр = σ_Т и σ_кр = σ_ПЦ. Это простое решение предложил русский учёный Ф.С.Ясинский на основании большого объёма экспериментальных исследований. Формула Ясинского имеет вид

σ_кр = a – bλ, (4.16)

где а и b – постоянные, зависящие от материала.

Для стали Ст3

σ_кр = 31 – 0,114λ (σ_кр в кН/см²). (4.17)

Это область упругопластических деформаций.

Если в этой области использовать формулу Эйлера (пунктирная линия), она даёт завышенные значения критических напряжений, т.е. всегда переоценивает действительную устойчивость стержня. Поэтому использование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость при упругопластических деформациях, не только принципиально неправильно, но и крайне опасно по своим последствиям.

Теоретическому решению этой проблемы было посвящено большое количество работ разных авторов. В настоящее время общепризнанным является решение немецкого учёного Ф.Энгессера, который предложил определять критическую силу в упругопластической стадии по формуле Эйлера, подставляя в неё вместо модуля упругости Е так называемый касательный модуль (рис.4.9).

. (4.18)

Сила Р_кр(τ) называется касательно-модульной.

Рис.4.9

Кривая критических напряжений, подсчитанных по формуле (4.18), показана на рис.4.8 тонкой линией. Видим, что прямая Ясинского мало отличается от касательно-модульной кривой, причём даёт результат, повышающий запас устойчивости.

4.5. Расчёт на устойчивость по допускаемому напряжению

Центрально сжатые стержни средней и большой гибкости теряют устойчивость раньше, чем прочность, поэтому нельзя допустить возникновения в них критического напряжения и обеспечить запас устойчивости.

Условие устойчивости сжатого стержня имеет вид

, (4.19)

где

. (4.20)

В формуле (4.20) [ σ ] _у – допускаемое напряжение на устойчивость, n_у – коэффициент запаса на устойчивость. Этот коэффициент всегда принимают несколько больше основного коэффициента запаса на прочность в формуле допускаемого напряжения при сжатии

. (4.21)

где σ₀ – напряжение, соответствующее наступлению опасного (предельного) состояния (для пластичного материала σ₀ = σ_Т – пределу текучести, для хрупкого σ₀ = σ_ПЧ – пределу прочности);

n – коэффициент запаса прочности.

Допускаемое напряжение на устойчивость [ σ ] _у и допускаемое напряжение на сжатие [σ_-] взаимно связаны. Составим их отношение:

, или . (4.22)

Обозначив

, (4.23)

получим

[ σ ] _у = φ [ σ_- ]. (4.24)

где φ – коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения при расчёте на устойчивость (коэффициент продольного изгиба).

Обратившись к графику критических напряжения на рис.4.8 и к аналогичному для любого материала, можно вычислить φ при всех значениях гибкости λ. Таким образом, φ меняется в пределах от нуля до единицы и зависит от материала и гибкости стержня. Представлен в виде таблицы, имеющейся в справочниках и учебниках.

Условие устойчивости сжатого стержня (4.19) с учётом (4.24) можно окончательно записать в виде:

. (4.25)

Индекс БР означает, что при расчётах на устойчивость не надо учитывать ослабление сечения (например, за счёт отверстий под заклёпки), а брать полную площадь поперечного сечения или площадь брутто.

4.6. Пример расчёта

4.6.1.Определение размеров поперечного сечения

В расчётной формуле (4.25) имеются две неизвестных величины – искомая площадь F (индекс БР опускаем) и коэффициент φ. Поэтому приходится пользоваться методом последовательных приближений, варьируя величину φ. Обычно в первой попытке задают φ₁ = 0,5 ¸ 0,6. Определяют площадь F, размеры сечения и гибкость λ. По λ в справочнике находят фактическое значение φ′₁. Если оно отличается от φ₁, следует повторить расчёт, приняв среднее по величине значение

.

Далее находят φ′₂ и всё повторяют до тех пор, пока не будет выполняться условие φ = φ′. Этот процесс быстро сходится и, как правило, требуется не более трёх попыток.

Необходимо подобрать размеры поперечного сечения стержня (рис.4.10,а). Материал – чугун, [ σ ] = 10 кН/см²; форма сечения – труба (рис.4.10,б), D = 1,4d.

Расчёт начинаем с определения геометрических характеристик сечения:

- площадь сечения ;

- момент инерции ;

- радиус инерции .

а б

Рис.4.10

Из условия устойчивости (4.25) найдём площадь поперечного сечения F:

.

1. Принимаем φ₁ = 0,5.

; ; .

Гибкость (μ = 0,7 по табл.4.1):

Þ φ′₁ = 0,69; φ′₁ ≠ φ₁,

поэтому переходим ко второму приближению

2. Принимаем .

; ; .

Гибкость

. В справочнике λ изменяется с шагом 10, поэтому для определения φ, соответствующего λ =47, делаем линейную интерполяцию:

λ	φ	.
	0,69 0,57

Получили φ′₂ = φ₂, расчёт закончен. Таким образом, хватило двух приближений. Сделаем окончательную проверку по напряжениям:

, .

Условие устойчивости σ ≤ φ [ σ ]выполняется. Округляем размеры чугунной трубы в большую сторону: внутренний диаметр d = 107 мм, наружный диаметр D = 150 мм.

4.6.2.Определение грузоподъёмности

Для стержня, показанного на рис.4.11,а, необходимо определить наибольшую нагрузку Р, а также коэффициент запаса на устойчивость. Материал – сталь Ст3, [ σ ] = 16 кН/см²; сечение – два швеллера (рис.4.11,б).

а б в

Рис.4.11

Грузоподъёмность определим из условия устойчивости (4.25)

Р ≤ F ∙ φ [ σ ].

Площадь и другие геометрические характеристики швеллера найдём в таблице «Сортамент прокатной стали». Чтобы определить φ, необходимо предварительно найти радиусы инерции i относительно главных осей составного сечения.

Одна из главных осей составного сечения z совпадает с главными осями швеллеров, поэтому радиус инерции составного сечения равен радиусу инерции одного швеллера

.

Вычислим теперь радиус инерции относительно оси у:

J_y = J_y1 + с²F = 113 + (7,6 + 1,0 – 2,07)² ∙ 23,4 = 1110,8 см⁴,

.

Таким образом, i_min = i_y = 6,89 см.

Гибкость (μ = 2,0 по таблице 4.1):

.

С помощью линейной интерполяции найдём φ:

λ	φ	.
	0,75 0,69

Далее вычислим грузоподъёмность стержня

Р = 23,4 ∙ 2 ∙ 0,708 ∙ 16 = 530 кН.

Имеет смысл проверить запас устойчивости, для чего надо предварительно найти критическую силу Р_кр. Так как гибкость стержня λ = 87, потеря устойчивости происходит в области упругопластических деформаций (см.рис.4.8). Критическое напряжение найдём по формуле (4.17)

σ_кр = 31 – 0,114λ = 31 – 0,114 ∙ 87 = 21,082 кН/см².

Критическая сила

Р_кр = σ_кр ∙ F = 21,08 ∙ 23,4 ∙ 2 = 986, 6 кН.

Коэффициент запаса устойчивости

.

Итак, мы видим, что в таблице коэффициента продольного изгиба φ заложен коэффициент запаса устойчивости больший, чем коэффициент запаса прочности n = 1,5.

Необходимо учитывать одно важное обстоятельство – составное сечение может работать только в том случае, если швеллеры связаны решёткой из уголков или из полос (рис.4.11,в). Расчёт решётки – это специальный вопрос, выходящий за рамки курса сопротивлений материалов.

4.7. О выборе материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней

Для стержней большой гибкости (λ ≥ λ_пред), когда критическое напряжение меньше предела пропорциональности материала, модуль упругости Е – единственная характеристика, определяющая сопротивляемость стержня потере устойчивости. В этом случае нецелесообразно применять сталь повышенной прочности, так как модули Е практически одинаковы для всех марок стали.

Для стержней средней гибкости применение высокопрочной стали целесообразно, так как в этом случае, в связи с увеличением предела текучести, увеличиваются критические напряжения.

С точки зрения формы рациональны сечения, у которых равны радиусы инерции относительно главных осей, так как потеря устойчивости всегда происходит в плоскости наименьшей жёсткости.

Наиболее рациональна такая форма поперечного сечения, при которой величина минимального радиуса инерции i_min будет наибольшей при определённой площади поперечного сечения F. Для удобства сравнения вводят безразмерную характеристику

,

которую называют удельным радиусом инерции. Ниже приведены значения ξ для некоторых сечений:

Труба (D=1,25d)…………………………………………………	0,61
Квадратная коробка (B=1,25b)…………………………………	0,61
Уголок……………………….……………….…………………..	0,5 – 0,3
Двутавр………………….………………….……………………	0,41 – 0,27
Швеллер………………………………………………………….	0,41 – 0,29
Квадрат…………………………………………………………..	0,289
Круг………………………………………………………………	0,283
Прямоугольник (h=2b)……………… …………………………	0,204

Наиболее рациональным являются трубчатые и коробчатые тонкостенные сечения.