Функция распределения непрерывной с.в

Как мы уже были приведены примеры, кроме д.с.в. имеются и непрерывные случайные величины (н.с.в.). Еще пример н.с.в.

Пример 1 Пусть на интервале (a, b) ставится произвольно точка х. Тогда длина Х = х-a есть случайная непрерывная величина. Можно рассматривать идеализированный опыт и считать, что точка бросается на отрезок совершенно произвольно. Вероятность того что длина отрезка Х = x-a окажется в точности равной заданному отрезку l < b-a, равна нулютак какзначениями X являются действительными числами.

Пример 2. В телефонном справочнике телефонные номера имеют 6 и более цифр. Пусть совершенно произвольно выбираются страницы справочника, берётся наугад номер, берутся в нём 4 последние цифры, образующие четырехзначное число и оно делится на 10000. Тогда в результате каждого выбора мы будем иметь случайное число значения которой заключены в интервале (0, 1). Можно сказать что имеем непрерывную случайную величину Х с равномерным распределением все значения которой заключены в интервале (0, 1).

Во всех примерах с непрерывными случайными величинами нельзя поступить по аналогии с д.с.в. Нельзя построить закон распределения , так как нет дискретных значений, которые принимает с.в. с какими то определёнными вероятностями. Однако определение функции распределения годится как для д.с.в, так и для н.с.в. Вполне можно поставить вопрос в примере 1 или 2, чему равна вероятность того, что н.с.в. в результате эксперимента примет значение меньшее x и задать функцию .

В примере 1 функцию разумно задать линейную.

Смысл такой функции распределения заключается в том, что при росте x “накопленная вероятность” равномерно растёт по линейному закону. Другой смысл рассмотрим позже, с точки зрения закона распределения.

Например, пусть концы интервала (a, b) равны а =0, b =2. Тогда функция имеет вид

И имеет график

Для того чтобы узнать, какова вероятность того, что с.в. примет значение меньшее, скажем, 1/2 нужно подставить это значение в функцию распределения ,

Определение функции распределения н.с.в. не отличается от соответствующего определения для д.с.в.

Определение. Функцией распределения случайной величины (безразлично дискретной или непрерывной) называют функцию F (x), с помощью которой определяют вероятность, того, что в результате эксперимента случайная величина примет значение меньшее x, т.е.

.