Дисперсия и среднеквадратичное отклонение

Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания M (X)

,

где -случайная величина равная отклонению случайной величины X от своего математического ожидания. Случайная величина c является центрированной, её математическое ожидание равно нулю M (c) = 0. Однако математическое ожидание от квадрата центрированной величины будет всегда положительным числом. Геометрически корень квадратный из дисперсии характеризует “рассеивание” случайной величины X вокруг своего математического ожидания.

Определение. Средним квадратическим отклонением s случайной величины Х называется число равное квадратному корню из дисперсии

.

Пример. Пусть бросается монета. Выпадению О (рла) припишем случайной величине Х значение 1, а при выпадении Р (ешки) припишем Х значение 2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое уклонение.

Решение.

Математическое ожидание равно М (X) = 1 × 1/2 + 2 ×1/2 = 1,5. Заполняем таблицу

Xi
Pi	1/2	1/2
	-1/2	1/2
	1/4	1/4

Вычисляем дисперсию

D (X)= M(c ²) = 1/4 × 1/2 + 1/4 × 1/2 = 1/4.

Среднее квадратичное отклонение случайной величины X равно

.

Мы получили, в общем, тривиальный результат. Уклонение Х от математического ожидания равно s = 1/2, т.е. значения случайной величины X = 1 или Х = 2 отстоят от математического ожидания на длину s = 1/2.

П р и м е р 1. Пусть эксперимент состоит из двух испытаний. Каждое испытание состоит в подбрасывании 1 одной и той же монеты. В каждом испытании по подбрасыванию одной монеты О (рел) появляется с вероятностью Р (О) = p = 1/2. В этих двух испытаниях О может:

а) не появиться вовсе, б) может появиться только один раза, в) может появиться два раза.

В этом эксперименте случайная величина X принимает значения Х = { 0, 1, 2 }. Вероятности появления этих чисел Р ₂(k), где k = 0, 1, 2, мы уже рассчитали ранее по упрощенной формуле Бернулли.

Р ₂ (0) = ; Р ₂ (1) = ;

Р ₂ (2) = . Имеем таблицу для биномиального закона

Хi
pi	1/4	1/2	1/4
	-1

Найти математическое ожидание, дисперсию и средне- квадратичное уклонение.

Р е ш е н и е.

М (X) = 0 × 1/4 + 1 × 1/2 + 2 × 1/4 = 1

D (X)= M(c ²) = 1 × 1/4 + 0 × 1/2 + 1 × 1/4 = 1/2.

Свойство характеризовать рассеивание случайной величины хорошо будет видно на следующем примере.

Пример.

Эксперимент состоит в том, что два стрелка разной квалификации стреляют по 20 раз в мишень. Результаты (очки) от 4 до 10 попадания в мишень приведены в таблице.

Очки
1 стрелок					-	-	-
2 стрелок

Построить законы распределения, найти математические ожидания, среднеквадратичные уклонения.

Решения. Для каждого из стрелков постоим таблицы. В качестве вероятностей возьмем частоту.

1 стрелок

Очки Xi
1 стрелок					-	-	-
p	3/20	7/20	6/20	4/20	-	-	-
	1,55	0,55	-0,45	-1,45	-	-	-
	2.40	0.30	0.20	2.10

М (X) = 10 × 3/20 + 9 × 7/20 + 8 × 6/20 + 7 × 4/20 = 8,45

D (X)= M (c ²) = 2.4 ×3/20+0.3×7/20+0.2×6/20+2.1×4/20 =0,945

2 стрелок

Очки Xi
2 стрелок
p	1/20	2/20	4/20	5/20	3/20	3/20	2/20
	3,2	2,2	1,2	0,2	-0,8	-1,8	-2,8
	10,24	4,84	1,44	0,04	0,64	3,24	7,87

М (X) = 10 × 1/20 + 9 × 2/20 + 8 × 4/20 + 7 × 5/20 +6 × 3/20 + 5 × 3/20 + 4 × 2/20 = 6,8

D (X)= M (c ²) = 10,24 × 1/20 + 4,84 × 2/20 + 1,44 × 4/20 + 0,04 × 5/20 +0,64 × 3/20 + 3,24 × 3/20 + 7,87 × 2/20 = 2,66

Из сравнения результатов вычислений M и s можно сделать вывод, что первый стрелок имеет математическое ожидание ближе к 10, чем у второго стрелка. Среднеквадратичное уклонение меньше у второго стрелка, это означает, что пули первого стрелка лежаться ближе к математическому ожиданию, чем у второго стрелка или как говорят “кучность” стрельбы у первого стрелка лучше. В идеале требуется, чтобы М ожидание было бы равно 10 и среднеквадратичное уклонение s равно нулю. Так мог бы стрелять автоматическое устройство, жестко закрепленное и отлаженное на попадание в центр.

На практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям.

Второй способ вычисление дисперсии.

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

Применим эту формулу для рассмотренного выше примера для первого стрелка:

Очки Xi
(Xi)2
1 стрелок ni					-	-	-
pi	3/20	7/20	6/20	4/20	-	-	-

М (X ²) = 100 × 3/20 + 81 × 7/20 + 64 × 6/20 + 49 × 4/20 = 72,35

Тогда дисперсия равна

D (X)= 72,35 - (8.45)² = 0.948

Что совпадает, в пределах точности вычислений, с результатом, подсчитанным первым способом.