Закон больших чисел

В широком смысле законом больших чисел называют общий принцип устойчивости массовых явлений, в соответствии с которым совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая. То есть средний результат большого числа случайных величин перестаёт быть случайным и может быть предсказан с заранее заданной точностью.

В узком смысле законом больших чисел называют ряд теорем, в каждой из которых для различных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к определённым постоянным.

Неравенство Маркова (лемма Чебышёва): Если случайная величина принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание , то для любого положительного числа верно неравенство:

Неравенство Чебышёва: Для любой случайной величины , имеющей математическое ожидание и дисперсию , справедливо неравенство:

, где .

Поскольку события и противоположны, неравенство Чебышёва может быть записано в форме: . Неравенство Чебышёва позволяет установить верхнюю (нижнюю) границу вероятности рассматриваемого события (в отличие от интегральной теоремы Муавра-Лапласа, которая даёт достаточно точное значение вероятности , причём, чем больше , тем точнее полученный результат).

а) для случайной величины , имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией неравенство Чебышева имеет вид: ;

б) для частости события в независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , и имеющей дисперсию :

Пример. Известно, что 75% изготовляемых деталей стандартные. Оценить вероятность того, что среди 2000 деталей стандартными окажутся от 1450 до 1550 деталей включительно.

Решение. Искомое число деталей является случайной величиной , распределённой по биномиальному закону с и . Поскольку границы допустимых значений случайной величины - 1450 и 1550 – симметричны относительно математического ожидания, можно записать: . Записав неравенство Чебышёва при , получим . Вероятность искомого события не меньше 0,85.

Пример. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что при подбрасывании 12 игральных костей сумма очков (случайная величина ) отклонится от математического ожидания меньше, чем на 15. Случайная величина - число очков на i-й кости ().

Решение. , где ;

. Найдём и

. .

, . По неравенству Чебышёва имеем: ,

Задача 1. Дискретная случайная величина задана законом распределения (табл. 14):

Таблица 14.

	0,1	0,5	0,2	0,2

Используя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что .

Задача 2. Дискретная случайная величина задана законом распределения (табл. 15):

Таблица 15.

	-1
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Используя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что .

Задача 3. Случайная величина задана функцией распределения: а). с помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность того, что ;

б). определить вероятность того, что .

Задача 4. Случайная величина задана функцией распределения: а). с помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность того, что ;

б). определить вероятность того, что .

Пример. Сколько деталей следует проверить, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения частоты стандартных деталей от вероятности равной 0,9 не превысит 0,01?

Решение. Используя следствие из неравенства Чебышёва: и решая получившееся неравенство относительно , получим: . Наименьшее число деталей, которые следует проверить 18000.

Пример. Вероятность наступления события в каждом испытании равна 0,3. Найти вероятность того, что в 10000 испытаний отклонение относительной частоты события от его вероятности не превзойдёт по абсолютной величине 0,01.

Решение. По условию задачи . Воспользовавшись следствием из неравенства Чебышёва: , получим:

.

Теорема Чебышёва: Если дисперсии независимых случайных величин ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий , то есть .

В формулировке теоремы используется понятие «сходимости по вероятности». Поскольку является случайной величиной, то неравенство выполняется не всегда, начиная с некоторого номера (как это утверждается в определении предела), но в некоторых отдельных случаях неверно. Однако, если число велико, то вероятность выполнения неравенства стремится к 1 и неравенство выполняется в большинстве случаев. Выполнение неравенства становится событием практически достоверным. А выполнение неравенства - практически невозможным. То есть стремление к является не категорическим утверждением, а утверждением, истинность которого гарантируется с вероятностью сколь угодно близкой к 1 при .

Следствие. Если независимые случайные величины имеют одинаковые математические ожидания равные , а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной , то:

То есть случайная величина сходится по вероятности к числу .

Пример. Среднее квадратическое отклонение каждой из 2500 случайных величин не превосходит 3. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превзойдёт 0,3.

Решение. По условию задачи Согласно теореме Чебышёва можно записать

В статистике теоретическая вероятность заменяется частостью появления случайного события в повторных независимых испытаниях. Основанием для такой замены является теорема Бернулли.

Теорема Бернулли. Частость события в повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , при неограниченном увеличении числа сходится по вероятности к вероятности этого события в отдельном испытании:

.

Теорема Пуассона. Частость события в повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями , при неограниченном увеличении числа сходится по вероятности к средней арифметической вероятностей события в отдельных испытаниях:

Сформулированные теоремы устанавливают факт приближения средней большого числа случайных величин к определённым постоянным.

Центральной предельной теоремой называют группу теорем, посвящённых установлению условий, при которых совокупное действие случайных величин подчиняется нормальному закону распределения.

Теорема Ляпунова. Если - независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание , дисперсия , абсолютный центральный момент третьего порядка и

То закон распределения суммы при неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией :

,

где - интегральная функция Лапласа.

Смысл условия теоремы состоит в том, чтобы в сумме , не было слагаемых, влияние которых на рассеяние подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых очень мало по сравнению с суммарным влиянием остальных. То есть удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремится к нулю при увеличении числа слагаемых.

Следствие. Если - независимые случайные величины, у каждой из которых существует равные математическое ожидание , дисперсии , абсолютные центральные моменты третьего порядка , то закон распределения суммы при неограниченно приближается к нормальному закону.

В частности, если все случайные величины одинаково распределены, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному закону при .

Пример. Просуммировать случайные величины с законом распределения (равномерным на отрезке ). На рис. 46 представлен график плотности случайной величины ; на рис.47. суммы двух случайных величин (при суммировании двух равномерных величин получают случайную величину, распределенную по закону равнобедренного треугольника (Симпсона); на рис. 48 – трёх (график состоит из трёх отрезков парабол и напоминает нормальную кривую). Если сложить шесть случайных величин получится случайная величина с плотностью вероятности не отличающейся орт нормальной.

Рисунок 46. График функции плотности вероятности непрерывной случайной величины .	Рисунок 47. График функции плотности вероятности непрерывной случайной величины , где ,	Рисунок 48. График функции плотности вероятности непрерывной случайной величины , где ,

Пример. На отрезке случайным образом выбрано 100 чисел, то есть рассматриваются 100 независимых средних равномерно распределённых на отрезке . Найти вероятность того, что их сумма заключена между числами 51 и 60.

Решение. Обозначим , тогда , - стандартная нормальная величина с параметрами . Поскольку случайные величины равномерны на , , . Получим: , . Из центральной предельной теоремы следует, что имеет нормальное распределение с параметрами , то есть . Поэтому искомая вероятность будет равна: