Свойства функции распределения. Событие, заключающееся в том, что случайная величина Х примет значение меньшее

1. – по определению.

2. ;

Событие, заключающееся в том, что случайная величина Х примет значение меньшее , невозможно, а событие, заключающееся в том, что случайная величина Х примет значение , достоверно. Если , то при , при .

3. – монотонно неубывающая функция. Это означает, что

при .

4. .

5. является непрерывной слева (в случае смешанной или дискретной случайной величины), т.е.:

(или ) (рис.31).

Рисунок. 31. График функции распределения дискретной случайной величины .

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Поэтому: .

Функцию распределения дискретной случайной можно определить следующим образом:

.

Пусть Х – непрерывная случайная величина, тогда – ее функция распределения дифференцируема всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек. На рисунке представлена функция, не являющаяся дифференцируемой в точках и (рис. 32).

Рисунок 32. График функции распределения непрерывной случайной величины , не являющейся дифференцируемой в точках и .

Производная функции распределения называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х или иначе дифференциальной функцией (дифференциальным законом)распределения непрерывной случайной величины Х.

Поскольку по определению производной функции:

, а (по свойству функции распределения), то – вероятность, отнесенная к единице длины или «средняя вероятность» и предел этого отношения естественно называть плотностью вероятности.

Поэтому плотностью распределения вероятностей случайной величины Х в точке х называется предел отношения вероятности попадания значений этой величины в интервал к длине интервала , когда : .