Свойства плотности распределения вероятностей

1. в точках, где существует ;

2. ;

3. (условие нормировки).

Функцию распределения по известной плотности вероятности можно найти по формуле: .

Закон распределения полностью характеризует случайную величину, но чаще всего этот закон неизвестен, а в распоряжении исследователя имеются только частичные сведения. Но для решения большинства практических задач и не требуется полная информация о случайной величине, достаточно указать некоторые числовые параметры, позволяющие в компактной форме отразить её существенные особенности. Эти параметры называются числовыми характеристиками случайной величины. Среди них различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана и др.), характеристики рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение) и характеристики формы распределения (различные моменты порядка выше первого, коэффициенты асимметрии и эксцесса).

Пусть Х – дискретная случайная величина с законом распределения, представленным таблицей 3. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число .

Пусть Х – непрерывная случайная величина и – ее плотность вероятности. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется число (если этот интеграл сходится).

Ели значения случайной величины (дискретной или непрерывной) занимают промежуток , то ее математическое ожидание всегда находится между ее крайними значениями: . Математическое ожидание изменяется в тех же единицах, что и случайная величина .

Если распределение случайной величины обладает свойством симметрии, то есть если график плотности вероятности (для непрерывной случайной величины) или многоугольник распределения (для дискретной случайной величины) симметричен относительно прямой , то математическое ожидание этой случайной величины . (Рис. 33).