Моделирование запасов (модель EOQ)

Существуют две крайности при решении проблемы оптимальной партии заказа: делать очень редко заказ с большим количеством сырья, или частые заказы с малым количеством сырья. В первом случае минимальны затраты на оформление, доставку и т.д. партии заказа, но максимальны при хранении сырья. Во втором случае все наоборот.

Задача логистики закупок и управления запасами заключается в бесперебойном обеспечении предприятия материальными ресурсами, отвечающими установленным стандартам качества, с наименьшими общими затратами и издержками на движение материалопотока включающими: номинальную цену, затраты на доставку, расходы на содержание запасов и иные выигрыши и потери. Одним из важных инструментов оптимизации управления запасами является расчёт оптимального размера поставки. А среди моделей расчёта особо выделяется формула Вильсона, которую также часто называют формулой оптимального размера заказа или формулой экономичного размера заказа (Economic order quantity – EOQ).

Создание модели EOQ явилось толчком к распространению идей научного менеджмента в сфере управления логистическими процессами в производственном и торговом бизнесе. Впоследствии она была положена в основу математической теории запасов. Несмотря на широкую известность данной модели, история ее создания по-прежнему представляет собой загадку для большинства исследователей. Модель, впервые предложенная Ф. Харрисом в 1913 г. и развитая Р. Уилсоном в 1934 году, минимизирует в простейших предположениях суммарные затраты на хранение и пополнение товара[5].

Модель EOQ, которую часто называют формулой Уилсона, является простейшей оптимизационной моделью для детерминированного спроса, и отсутствия дефицита. Многие специалисты по логистике и преподаватели логистики считают ее простой, популярной, но сами нередко отказываются от её применения, указывая ту причину, что эта формула имеет ряд серьёзных ограничений и допущений. Допущения для формулы оптимального размера поставки EOQ следующие:

- расход ресурсов непрерывный и равномерный;

- период между двумя смежными поставками постоянен;

- спрос удовлетворяется полностью и мгновенно;

- транзитный и страховой запасы отсутствуют;

- ёмкость склада не ограничена;

- затраты на размещение и выполнение заказа не зависят от размера заказа и постоянные в течение планового периода;

- цена поставляемой продукции в течение планового периода постоянная;

- затраты на содержание запаса единицы продукции в течение единицы времени постоянные и не зависит от суммы вложенных в запасы средств и сроков.

Приведённые выше допущения накладывают много ограничений практического характера, без которых достоверность расчётов по данной формуле вызывает серьёзные сомнения.

Для преодоления некоторых ограничений предпринимались попытки изменить алгоритм расчётов. С изменением алгоритма стал возможен анализ системы скидок, вариант формулы с пополнением запасов в течение некоторого времени, расчёт размера поставки в преддверии ожидаемого повышения цен на закупаемый товар.

Однако без ответа остаются многие вопросы и среди них следующие: как рассчитать размер заказа, если доставку осуществляет поставщик и стоимость доставки включена в цену товара, как учесть наличие страховых запасов на складе, использовать ли в расчётах цену материалов с налогом на добавленную стоимость (НДС) или без НДС и т.п. Эти и тому подобные практические вопросы могут поставить специалиста по логистике в тупик, усомниться в действенности модели и отказаться от применения основного инструмента оптимизации поставок.

Возможность применения модификаций формулы Вильсона для случаев, когда пополнение запасов осуществляется не мгновенно, а за определённый промежуток времени, для случаев предоставления системы скидок в зависимости от объёмов поставки и для случаев ожидаемого повышения цены на ресурсы достаточно известны, их описание можно найти во многих источниках. В данной статье они будут исключены из рассмотрения, но рассмотрим следующие три: влияние страховых запасов на расчёт оптимального размера поставки, уточнение переменных расходов, связанных с содержанием запасов и решение вопроса об используемой цене материальных ресурсов.

Для начала рассмотрим, как получена формула Вильсона. Со стандартными условиями и ограничениями она имеет следующий вид:

Q_опт =

где: A – затраты на размещение и выполнение заказа;

S – годовая потребность в ресурсах;

q – размер единовременной поставки;

r – процентная ставка на хранение ресурсов (ставка дисконтирования);

p – цена единицы закупаемых ресурсов.

На рис. 20 показано взаимоотношение между кривыми издержек размещения заказа (обратно пропорционально размеру заказа), хранения запаса (прямо пропорционально размеру заказа), кривой общих издержек и оптимальным размером заказа.

Рис. 20. Зависимость издержек от размера заказа в модели EOQ

Но для того чтобы разобраться в возможностях и ограничениях формулы EOQ надо знать её природу. Определение экономического размера заказа на поставку товара основано на минимизации общей стоимости двух видов затрат: затрат на хранение запасов, прямо пропорциональных размеру заказа и затрат на размещение заказа.

С_общ = С_р / С_х

Где: С_общ – суммарные затраты за определённый период времени (для упрощения расчётов, период времени обычно принимается равным одному году);

С_р – затраты на размещение заказа;

С_х – затраты на хранение ресурсов.

Общие расходы на материальный поток определяются по следующей известной формуле:

С_общ = С_р + С_х + С_з

Где: С_з - затраты на закупку ресурсов.

В развернутом виде формула будет следующей:

С_общ = + +Sp

Оптимальный размер поставки может быть найден с помощью метода исследования функции, поиска её экстремума. Если указанную формулу суммарных затрат принять за функцию и последовательно изменять размер поставки q, то оптимальный размер поставки будет соответствовать минимальному значению суммарных затрат.

С другой стороны, функция суммарных затрат является непрерывной и дифференцируемой на интервале (0; inf). Задача определения оптимального размера поставки, соответствующего минимальным суммарным затратам, заключается в поиске минимального значения функции путём исследования. Минимальное значение находится в точке её экстремума. Исследуем функцию на указанном интервале. Если продифференцировать её по q, то производная функции будет следующей:

С_общ = - + +0

Для того чтобы утверждать о нахождении экстремальной точки, первая производная функции должна иметь решение, а точка, в которой первая производная равна нулю, должна быть стационарной. Формула имеет следующий вид:

- + =0

Соответственно точка экстремума функции, минимум затрат и оптимальный размер поставки будут находиться в точке q_опт. Решая уравнение относительно q, получим:

q_опт=

Это и есть формула оптимального размера заказа (Economic order quantity) – формула Вильсона[6].

(По материалам <a style="text-decoration:none;color:black;cursor:default" href=http://w%77w%2E%61v%61cco%2Eru>www.avacco.ru</a>)Исходя из классификации затрат на формирование партии запасов, общее уравнение их стоимости имеет следующий вид:

ТС = С_о +C_h +C_d,

Где:

С_о – стоимость заказа партии;

C_h – стоимость хранения;

C_d – стоимость нехватки запасов.

Для данной модели основные условия:

- Q – объем 1 заказа; закупки производятся равномерно;

- товарно-материальные запасы расходуются равномерно;

- следовательно, средний объем запасов на складе – Q/2 (рис.21).

Рис. 21 – Динамика изменения остатка товаров на складе

Суммарная стоимость хранения запасов

Пусть C_hl – стоимость хранения единицы запасов. Тогда для расчета стоимости хранения необходимо затраты по хранению одной единицы запасов C_hl за период (год) умножить на количество запасов в течение каждого дня периода. Стоимость хранения всех запасов в течение года равна стоимости хранения среднего уровня запасов, или Q/2 единиц:

Суммарные затраты на хранение имеют следующий вид:

Суммарная стоимость выполнения заказа

Стоимость выполнения заказа связана с фиксированными затратами на выполнение заказа и не зависит от размера заказа; включает в себя следующие затраты:

- стоимость подготовки документов, включая стоимость рабочего времени сотрудников, занятых этим;

- транспортные расходы (только фиксированная часть);

- командировочные и курьерские расходы.

Все затраты на выполнение заказа, зависящие от его объема (т.е. переменные), относят на стоимость самих запасов и не включают в стоимость выполнения заказа.

Если спрос на продукцию известен и зафиксирован на уровне D единиц в год, то при объеме заказа (партии) в Q единиц, количество заказов составит D/Q, а цикл заказа Тц =Q/D.

Суммарная стоимость выполнения заказа (Со) определяется по формуле:

Со =

Где: D – потребность за период (ед.); Q – объем заказа (ед.); C_ol – стоимость выполнения 1 заказа (руб.)

Суммарная стоимость нехватки запасов

Суммарная стоимость нехватки запасов определяется так же, как и стоимость хранения, т. е. средний уровень единицы нехватки запасов умножается на стоимость нехватки единицы запасов.

Где: d – максимальное количество единиц дефицита (нехватки) запасов за период (год).