Упражнения с решениями. Пример 1. Построить график функции

Пример 1. Построить график функции

Решение. Область определения функции – вся числовая прямая. Множество значений .

Функция нечетная, периодическая. Период данной функции найдем из равенства . Следовательно, сначала достаточно построить часть графика на отрезке .

Найдем точки пересечения графика с осью . Если , то , откуда , где , т.е. на данном полупериоде кривая пересекает ось в двух точках и .

Максимум функции равен 1 при , т.е. при .

По этим данным построим график функции . Сначала график строим для положительного полупериода (рис. 30), затем на отрезке, соответствующем отрицательному полупериоду , и, наконец, на всей области определения (штриховая линия).

Рис. 30

Пример 2. Построить график функции: 1) .

Решение. Мы знаем, как построить график функции (на рис. 31 он изображен штриховой линией). Растягивая график функции вдоль оси абсцисс в 2 раза, получим график функции .

Затем полученный график растягиваем еще раз, но теперь по оси ординат в 3 раза, получим график функции .

Рис. 31

Пример 3. Построить график функции:

Решение. .

а) область определения – – любое число, кроме , где , так как ;

б) область значений – вся числовая прямая, т.е. ;

в) функция не является ограниченной;

г) функция не принимает экстремальных значений;

д) функция периодическая, главный период , так как ;

е) функция не является монотонной на всей области определения, но функция возрастает на каждом из промежутков, , где ;

точки пересечения с осями координат – точки , где , так как при , т.е. .

Учитывая периодичность, построим график функции .

Рис. 32

Пример 4. Построить график функции: , используя формулу приведения.

Решение. По формуле приведения . Поэтому график функции можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса влево на (рис. 33) и симметрией относительно оси абсцисс. График функции изображен на рисунке 34.

Рис. 33

Рис. 34