Дискретные модели в пространстве состояния

1. Переход от разностного уравнения к уравнениям состояния

Рассмотрим дискретную ПФ:

где оператор z ^-1 означает задержку на один такт.

Этой ПФ соответствует разностное уравнение

и граф, показанный на рис. 4.

z –1

U (s)

b 4

z –1

x 1

x 4

Y (s)

– a 1

x 2

z –1

z –1

x 3

– a 2

– a 3

– a 4

b 1

b 2

b 3

b 0

Рис. 4. Сигнальный граф для дискретной ПФ

Выбирая в качестве переменных состояния выходы элементов задержки, можно записать

В матричной форме

Пример. Пусть имеется дискретная ПФ

И соответствующее разностное уравнение

Сигнальный граф этой системы показан на рис. 2. Применяя к нему формулу Мейсона, можно получить исходную дискретную ПФ.

Примем выход каждого элемента задержки за переменную состояния x ₁(k) и x ₂(k), тогда входы элементов задержки равны x ₁(k +1) и x ₂(k +1)

U (z)

0.26

x 1

Y (z)

z –1

x 2

1.3

0.36

z –1

–0.3

Рис. 2

Модель в переменных состояния приобретает вид:

В матричной форме

Таким образом, модель дискретной системы в пространстве состояний можно получить, используя либо разностное уравнение, либо дискретную ПФ.

Переход от уравнений состояния к передаточной функции.

Рассмотрим линейную стационарную систему

Применяя z-преобразование, имеем

2. Получение дискретного представления из непрерывного

Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Где a и b – числа, x и u – скалярные переменные.

Рассмотрим преобразование этого уравнения по Лапласу:

Обратное преобразование Лапласа этого уравнения дает

Это формула обобщается для системы произвольного вида

Рассмотрим движение объекта на интервале квантования T, используя непрерывное описание:

Поскольку на интервале квантования T управление не изменяется: U (t) = U (kT), можно записать:

(При записи последней формулы можно считать kT = 0).

Таким образом

Выход цифровой системы можно рассчитывать по формуле:

Поскольку время срабатывания АЦП и ЦАП намного меньше периода квантования, и его можно не учитывать.

Дискретная система в пространстве состояний описывается структурой, приведенной на рис. 4:

B d

ò

C

A d

U (k)

X (k)

X (k+ 1)

Y (k)

Рис. 4. Дискретная форма уравнений состояния

Методика синтеза цифровых модальных регуляторов принципиально не отличается от методики синтеза непрерывных модальных регуляторов.

Рассматривая уравнения состояния в дискретной форме, можно обосновать критерий управляемости.

Пусть задано описание стационарной дискретной системы:

где A - матрица размером (n × n), B - матрица размером (n × 1).

Можно записать выражение:

Аналогично:

Окончательно:

где

W = [ A^{n -1} B; A^{n -2} B; … A ² B; AB; B ],

U = [ U (k) U (k + 1) … U (k + n – 2) U (k + n – 1)]^T

Если матрица управляемости W невырожденная (несингулярная), то из выражения

следует

Таким образом, для полностью управляемого объекта можно рассчитать управление, рассматривая инверсную динамику объекта.

Пример. Объект управления задан матрицами:

Матрица управляемости

Сигнал управления