Собственные значения и собственные векторы

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Решение можно представить в виде

Тогда

Для построения решения, кроме тривиального X = 0, необходимо, чтобы матрица A – λ I была вырожденной, т.е.

Иными словами требуется узнать: если А сдвигается на различные кратные единичные матрицы, то какой сдвиг делает ее вырожденной?

Значения параметра λ, для которого существуют нетривиальные решения AX = λ X, называются собственными значениями (числами) матрицы A. Соответствующие им векторные решения называют собственными векторами матрицы A.

Рассмотрим определитель

Разложение этого определителя дает характеристическое уравнение системы:

из которого могут быть найдены все собственные значения λ_i. Затем для каждого собственного значения может быть найден собственный вектор.

Пример 2.1. Дана матрица А, требуется найти ее собственные значения и векторы.

Таким образом, имеются два собственных значения матрицы λ₁ = –1 и λ₂ = 2.

Первый собственный вектор:

Решением является любой вектор, кратный X ₁ = [1 1]^Т.

Аналогично для 2-го собственного числа

Решением является любой вектор, кратный X ₂ = [5 2]^Т.

Для устранения неоднозначности значения собственных векторов можно нормализовать.

Линейное и однородное уравнение допускает суперпозицию решений

Где константы c ₁ и c ₂ определяются начальными условиями. Допустим, что заданы начальные условия:

Тогда при t = 0

Таким образом, свободное движение системы, динамика которой описывается матрицей А при начальных условиях U ₀ имеет решение

или

После отыскания собственных векторов система уравнений распадается на «гармоники», которыми являются независимые друг от друга собственные векторы. Можно наблюдать за поведением каждого из собственных векторов в отдельности, а затем комбинировать эти гармоники для отыскания решения.

Пример 2.2. Дана матрица коэффициентов системы А и известны ее собственные вектора X ₁, X ₂, а а также начальное условие X ₀.

Требуется определить свободное движение системы.

Решение. Характеристическое уравнение

Имеет два собственных значения: –5 и –2.

Будем искать решение в виде:

Таким образом, свободное движение системы описывается уравнением

Совокупность собственных значений α_i и собственных векторов X _i представляет собой модальные характеристики системы. Модой называется каждое произведение вида

Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы

Рассмотрим диагональную форму матрицы (жорданову форму). Пусть дана матрица A, имеющая полный ранг n, и матрица собственных значений

И матрица, составленная из собственных вектор-столбцов матрицы А:

Тогда справедливо

Доказательство:

Матрица S обратима, поскольку имеет полный ранг.

Пример 2.3. Диагонализировать матрицу

Решение

Пример 2.4. Обратная задача:

Требуется найти матрицу A.

Пример 2.5. Приведение многомерного объекта к диагональной канонической форме.

Получаем характеристическое уравнение

Первый собственный вектор:

Аналогично

Матрица преобразования координат: