С помощью сигнальных графов и формулы Мейсона можно переходить от уравнений состояния к ПФ и наоборот.
Пусть X (s) и Y (s) – входная и выходная переменные системы. Тогда для вычисления ПФ системы управления по ее графу можно воспользоваться формулой Мейсона:
где P i(s) – передаточная функция i -го отдельного прямого пути от X (s) до Y (s), вычисленная как произведение передаточных функций дуг, входящих в этот путь;
D(s) – определитель графа.
где L j(s) – ПФ j -го замкнутого контура, равная произведению ПФ дуг, входящих в этот контур;
L j(s) L k(s) – произведение ПФ пары (j -го и k -го) замкнутых контуров, не касающихся ни дугами, ни вершинами, суммирование осуществляется по всем парам не касающихся контуров;
L j(s) L k(s) L m(s) – произведение тройки (j -го, k -го и m -го) не касающихся контуров, суммирование производится по всем тройкам не касающихся контуров.
Di(s) – дополнительный множитель для i- го пути равен определителю графа, в котором приравнены нулю коэффициенты передачи контуров, касающихся этого пути.
Пример 1.15. Рассмотрим еще раз уравнения состояния RLC – цепи:
Им соответствует сигнальный граф, показанный на рис. 1.12.
Рис. 1.12. Сигнальный граф для уравнений состояния
Граф содержит один путь и два касающихся контура:
По формуле Мейсона ПФ оказывается равна:
Рассмотрим далее ПФ вида
Если считать, что это формула Мейсона, то числитель соответствует единственному прямому пути в графе, а знаменатель является определителем графа, содержащего четыре касающихся контура. Таким образом, получаем граф, представленный на рис. 1.13.
Рис. 1.13. Сигнальный граф для передаточной функции
Рассмотрим теперь ПФ более общего вида
Знаменатель здесь такой же как в предыдущем примере, а числитель можно рассматривать как сумму 4-х прямых путей. Получаем граф, показанный на рис. 1.14.
Рис. 1.14. Сигнальный граф для ПФ общего вида
Для графа на рис. 1.14 можно записать
В матричной форме
