Статично невизначувані задачі

Задачі на розрахунок конструкцій, в елементах яких силові фактори не можна визначити за допомогою лише рівнянь рівноваги статики, називають статично невизначуваними. При розв’язуванні таких задач, рівнянь яких не вистачає для визначення зусиль, складають на основі умов деформацій бруса або системи додаткові рівняння. Ці додаткові рівняння називають рівняннями сумісності деформацій (нерозривності деформацій). Від зв’язку між деформаціями, використовуючи закон Гука, переходять до рівнянь, які зв’язують зусилля в деформованих елементах. Рівняння сумісності деформацій мають різну форму, залежно від характеру задачі. Кількість таких задач визначає ступінь статичної невизначуваності задачі, який, очевидно дорівнює різниці між кількістю невідомих і кількістю рівнянь статики, які можна скласти.

Наведемо кілька прикладів.

Приклад 1.

Жорстка балка підтримується двома стержнями, як показано на рисунку 2.5. Перший стержень повинен мати площу поперечного перерізу в два рази більшу ніж другий; для матеріалу стержнів прийняти допустиме напруження [s]=1600 кг/см².Визначити площу поперечного перерізу стержнів.

Рисунок 2.5

. Дано: а =1 м; b =2 м; с =1,5 м a=45°; Р =120 кН; А 1=2 А 2 Е 1= Е 2= Е; [s]=160 МПа Визначити: А 1-?; А 2-? Розв’язування: В задачі потрібно визначити площі перерізів стержнів, тобто провести проектний розрахунок. Оскільки стержні системи працюють на розтягання-стискання, то проектний розрахунок виконується за формулою

Допустиме напруження задано, тому потрібно визначити нормальні сили в поперечних перерізах стержнів 1 і 2.

Використаємо метод перерізів і переріжимо стержні поперечними перерізами, відкинемо верхню частину стержня 1 і нижню частину стержня 2, замінимо їх дію нормальними силами N ₁ та N ₂. Використовуючи формальний підхід, припустимо, що обидва стержні розтягнуті, тобто направимо N ₁ та N ₂ від перерізів. Відкинемо також шарнір і замінимо реакціями R_x та R_y (рисунок 2.6, а).

Для визначення чотирьох невідомих реакцій N ₁, N ₂, R_x, R_y ми можемо скласти лише 3 незалежних рівняння статики, тобто

Отже, система 1 раз статично невизначувана.

Перші 2 рівняння статики крім N ₁ та N ₂ містять невідомі реакції R_x та R_y, визначати які немає необхідності. Отже, відносно невідомих зусиль N ₁ та N ₂ ми маємо лише одне рівняння:

(2.25)

Рисунок 2.6

Для визначення N 1 та N 2 необхідно скласти рівняння сумісності переміщень. З цією метою розглянемо систему в деформованому стані. Методом засічок визначимо видовження D l 1. ІЗ подібності трикутників D ОВВ 1 ¥ D ОАА 1 випливає АА 1=3 ВВ 1 (2.26)   Із D АА 1 С АА 1=D l 1/sin 45o На початку розв’язування задачі ми прийняли стержні розтягнуті, але за схемою

деформації другий стержень виявився стиснутим, таким чином відрізок ВВ ₁ дорівнює D l ₂ із знаком мінус, тобто ВВ ₁=-D l ₂.

З врахуванням цього отримаємо рівняння сумісності переміщень

(2.27)

Виразимо D l ₁ та D l ₂ через зусилля в стержнях N ₁ та N ₂

Враховуючи, що А ₁=2 А ₂, підставимо вирази для

D l ₁ та D l ₂ в рівняння (2.27)

N ₁= -3 N ₂ (2.28)

Сумісним розв’язуванням рівнянь (2.25) та (2.28) визначаємо N ₁ та N ₂

Н

N ₁=-3 N ₂=114×10³ Н

Отримані знаки зусиль говорять про те, що при навантаженні системи силою Р стержень 1 розтягується, а стержень 2 стискається. Порівняння величин N ₁ та N ₂ показує, що перший стержень більш навантажений. Визначаємо необхідну площу А ₁

м²=7,12 см²

Приймаємо А ₁=7,2 см²

Тоді см²

Перевіримо міцність 2-го стержня

Н/м² =105,5 МПа< [s]=160 МПа

Умова міцності виконується

Приклад 2.

Визначити зусилля в перерізах стержня (рисунок 2.7.).

Дано: Е_ст =2×10⁵ МПа; Е_м =1×10⁵ МПа;

А_м = А_ст = А; Р =30 кН.

Рисунок 2.7

Розв’язування: Для визначення зусиль в поперечних перерізах використовують метод перерізів. Але для того, щоб використати цей метод нам необхідно визначити опорні реакції. Відкинемо опори і замінимо їх реакціями RA i RB. Сумістимо вісь z з віссю бруса. Для визначення невідомих RA i RB ми маємо лише одне рівняння статики   å Z =0 RA + RB - Р= 0.   Дана задача відноситься до категорії статично

невизначуваних. При цьому ступінь статичної невиз начуваності дорівнює 1, тобто необхідно скласти одне рівняння сумісності переміщень.

З умови закріплення бруса очевидно, що переміщення крайніх перерізів А і В дорівнюють нулю (оскільки вони закріплені). Відкинемо нижнє закріплення, замінимо його дію реакцією R_B, значення якої поки що не відоме. Таким чином отримаємо статично визначуваний брус навантажений силами Р і R_B. Переміщення перерізу В визначається сумою деформацій 1-ї та 2-ї ділянок, тобто Але з умови закріплення d _з =0. Тоді рівняння сумісності переміщень має вигляд:

D l ₁ + D l ₂ = 0 (2.29)

Підставляючи в (2.29) отримаємо, з врахуванням того, що Е_ст =2 Е_м

Звідси отримаємо Н

З рівняння (2.29) Н

Методом перерізів визначаємо, що в перерізах 1-ї ділянки N ₁=10 кН, а в перерізах 2-ї ділянки N ₂=-20 кН.

Знаки зусиль показують, що перша, тобто мідна ділянка стержня - розтягнута, а друга (стальна) - стиснута.