Напруження і деформації

Центральний (осьовий) розтяг або стиск виникає від сил, прикладених до осі бруса (рисунок 2.1). Напружений стан, що спричиняється такими силами, називають простим або лінійним (одновісним). В силу гіпотези плоских перерізів напруження по перерізу розподіляються рівномірно, що може бути виражено формулою

, (2.1)

де - нормальне напруження в поперечному перерізі;

N - зусилля в цьому перерізі;

A - площа перерізу.

Рисунок 2.1

В різних перерізах одного і того ж бруса внутрішні зусилля N різні. При розрахунках необхідно знати внутрішні зусилля в будь-якому перерізі. Тому будують графіки N (x), з яких видно, як змінюються внутрішні зусилля N вздовж осі бруса. Такі графіки називають епюрами внутрішніх зусиль. Розглянемо східчастий брус, затиснутий лівим кінцем (рисунок 2.1), вздовж осі якого діють активні сили P i 3 P. Частини бруса сталого перерізу, що містяться між площинами, в яких прикладені активні або реактивні сили, називаються ділянками. Таким чином межами ділянок є точки прикладання зовнішніх сил, а також

місця зміни розмірів поперечного перерізу. Даний брус (рисунок 2.1)складається з трьох ділянок.

Для побудови епюри повздовжньої сили N використаємо метод перерізів і рівняння рівноваги (1.4). Розтяжні (направлені від перерізу) повздовжні сили вважатимемо додатними, а стисківні (направлені до перерізу) - від’ємними. Зробимо переріз 1-1. В усіх точках перерізу діятимуть внутрішні розподілені сили, рівнодійна яких N ₁, визначається з умови рівноваги однієї з частин бруса, наприклад, правої

,

Звідки N ₁= P

Повздовжня сила - це рівнодійна внутрішніх нормальних сил, які виникають у поперечному перерізі. Знаходимо величину повздовжньої сили в перерізі 2-2.

, , .

Таким чином, повздовжня сила в поперечному перерізі бруса чисельно дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх сил, що діють з одного боку перерізу.

Для побудови епюри повздовжньої сили N під рисунком бруса проведемо лінію, паралельну осі бруса. Ця лінія називається базовою (рис. 2.1). Величини повздовжніх сил у довільному масштабі відкладемо перпендикулярно до базової лінії, причому додатні значення (розтягання) відкладемо вгору, а від’ємні (стискання) - вниз від базової лінії. Епюру штрихуємо тонкими лініями перпендикулярними до осі. У точках прикладання зосереджених сил на епюрі N мають місце стрибкоподібні зміни, причому величина “стрибка” дорівнює модулю прикладеної в перерізі бруса зовнішньої зосередженої сили (рисунок 2.1).

Очевидно, що значення ординати епюри повздовжніх сил під закріпленням дорівнює реакції закріплення. Зазначимо, що за методом перерізів зручніше розглядати рівновагу частини бруса, розміщеної з боку вільного кінця, у протилежному випадку потрібно заздалегідь визначити і вводити в рівняння рівноваги реакцію закріплення.

Щоб побудувати епюру s, визначимо за формулою (2.1) нормальні напруження на ділянках бруса, беручи значення N із епюри N (x). Тоді на першій, другій і третій ділянках будемо мати

Правила побудови епюри s(x) такі самі, як і для епюри N (x), включаючи і правило знаків. У межах кожної ділянки напруження сталі, тому епюра s(x) на кожній ділянці паралельна осі (рисунок 2.1).

У розрахунках на міцність привертають особливу увагу ті перерізи бруса, в яких напруження за абсолютними значеннями максимальні. Ці перерізи можуть бути небезпечними. У розглянутому прикладі небезпечними є перерізи бруса на 2-й ділянці.

Перейдемо до розгляду деформацій. Уявимо прямий брус сталого поперечного перерізу A ₀ і довжиною l ₀ (рисунок 2.2). Під дією сили P брус видовжиться на деяку величину D l

(2.2)

яку називають абсолютним видовженням.

При розтяганні бруса його поперечні розміри зменшуються. При цьому абсолютна поперечна деформація дорівнюватиме

. (2.3)

Відношення абсолютного видовження D l до початкової довжини l ₀ називають відносним видовженням і позначають e

. (2.4)

Рисунок 2.2

Аналогічно, відносна поперечна деформація дорівнює . (2.5) Зв’язок між відносною поперечною і відносною повз-

довжньою деформаціями виражається формулою

, (2.6)

де m - безрозмірний коефіцієнт поперечної деформації - коефіцієнт Пуассона. Знак “мінус” у формулі (2.6) говорить про те, що деформації і e мають різні знаки, а коефіцієнт Пуассона визначається за формулою

. (2.7)

Величина m для різних матеріалів не однакова: так, для сталі m=0.25-0.3, для каучуку m=0.47. Значення m для різних матеріалів приводяться в довідниках.