Записать алгоритм решения нелинейного уравнения методом Ньютона. Пусть дано уравнение f(x) = 0

Вариант 1

Пусть дано уравнение f(x) = 0.

1. Проверить на сходимость уравнение для решения его методом Ньютона.

2. Если сходится, то задаем начальное приближение x₀, иначе необходимо применять другой метод.

3. Следующие приближения вычисляются по формуле:

4. Если достигнута заданная точность вычислений e>0, то переход к п. 5 Иначе переход на пункт 3.

5. Конец.

Вариант 2

Модификация итерационного процесса.

Применение метода итераций x=j(x); часто затрудняется тем, что j(x) несжимающая функция. Помимо этого можно потребовать увеличение скорости сходимости. Рассмотрим исходное уравнение

f(x)=0 (1), где f(x)=j(x) – x. Решение x итерационного процесса будет и решением (1). Преобразуем (1) следующим образом

f(x)=0Þ rf(x)=0 Þx=x+rf(x) или x=j(x) (2), где f(x)=x+rf(x), r ¹ 0.

Итерационный процесс происходит по формуле x=j(x) или x=x+rf(x), k =0,1,2,.. (3). Решение (2) является решением (1).

В предложенном варианте существование решения и сходимость x,x,x,..,x,.. обеспечивается условиями теоремы сжатия относительно j(x). При этом r может быть выбрана таким методом, что условие сжатия выполняется для j(x) в тех случаях, когда j(x) несжимаема.

Пусть |j'(x)|<1 для итерационного процесса x=j (x). Будем искать решение (1) решая (2) с помощью алгоритма (3), а число r выберем из условия сжатия для j (x) при x=x*. |j'(x*)|<1 или |1+r f'(x*)|<1 (4)

|1+r (j'(x*)-1)|<1 ® -1<1+r (j'(x*)-1)<1® -2< (j'(x*)-1)<0 ® -2/(j'(x*)-1)<r<0

r<0 и |r|<2/(j'(x*)-1), если (j'-1)>0

r>0 и |r|<2/(j'(x)-1), если (j'-1)>0

Из условия сжатия функции j (x) получим рекомендации для выбора числа r в уравнении (2) и алгоритма (3), обеспечивающих сходимость (3). Можно потребовать наиболее сильного сжатия, j'(x*) = 0 (5) Отсюда получаем значение r=-1/(j'(x*)-1) (6).

В предложенной методике есть недостаток: r=const на протяжении всего процесса поиска корня. Однако, нет препятствий для изменения этого значения в процессе выполнения итерационного процесса. Сделаем r функцией x и подставим в алгоритм: x = x + r(x)f(x), n=0,1,2,..(7)

Потребуем, чтобы j’(x) была равна 0 в достаточно большой окрестности корня x*: j’(x)=1+rf’(x)=0, отсюда r(x)=-1/f’(x)=-1/j’(x)–1.

Тогда алгоритм будет иметь вид:

x(n+1)=x-f(x)/f’(x) – метод Ньютона.

Алгоритм Ньютона:

1. Задаем начальное приближение x0

2. Находим следующий x по формуле x(n+1)=x-f(x)/f¢ (x)

Критерий окончания поиска ||xⁱ⁺¹-xⁱ||£e