Сплайны

Пусть отрезок [x0,xn] разбит на n частей, тогда сплайном степени m называется функция Sm(x), где m – старшая степень, обладающая следующими свойствами:

1. Sm(x) непрерывна на всем отрезке [x0,xn] вместе со своими производными до некоторого порядка p

2. на каждом отрезке [xi,xi+1] функция Sm(x) совпадает с некоторым многочленом Pm,i(x)

На каждом отрезке [xi,xi+1] таблично заданная функция заменяется на

S3(x)=ai+bi(x-xi-1)+ci(x–xi-1)*(x–xi-1)+d(x–xi-1)*(x–xi-1)*(x–xi-1)

Сплайн – особым образом построенные гладкие кусочные функции, сочетающие в себе локальную простоту и глобальную для всего отрезка интерполяции гладкость.

B-сплайны:

В более общей форме B-сплайнов кривая в общем случае задается соотношением:

P(t) = i = 0n Pi Nim(t)

где P_i - значения координат в вершинах ломаной, используемой в качестве управляющей ломаной для кривой, t - параметр, N_im - весовые функции, определяемые рекуррентным соотношением:

Ni,1 =      1, если xi  t  xi+1 0, в других случаях

Ni,k(t) = (t - xi) Ni,k-1(t) xi+k-1 - xi + (xi+k - t) Ni+1,k-1(t) xi+k - xi+1 .

Квадратичный:

Для его построения требуется минимум три точки.

Тогда

Пример:

Кубический:

Для его построения требуется минимум 4 точки.

Пример: