Интерполяционные кривые в машинной графике

Одной из распространенных задач в САПР является графическое представление кривых и поверхностей. Средства компьютерной графики существенно помогают при проектировании, показывая конструктору различные варианты моделирования поверхности. При этом часто возникает задача построения кривой или поверхности, проходящей через ряд заданных точек. Интерполяция -построение кривой, проходящей через контрольные точки.

Аппроксимация -приближение кривой (не обязательно проходит точно через данные точки, но удовлетворяет некоторому заданному свойству относительно этих точек).

Интерполяция. Многочлен Лагранжа:

Пусть на плоскости задан набор точек: (x _i, y_i), i=0,...,m, причем x₀<x₁<x₂<...<x_m.

многочлен Лаганжа -

Если раскрыть данный многочлен, получим

Кривые Эрмита:

Используются и многие другие методы, например, метод Эрмита, при котором задаются положения конечных точек кривой и значения первой производной в них.

Даны точки, из каждой выходит вектор, являющийся касательной к куску кривой, выходящей из этой точки.

Для построения простейшей кривой достаточно двух точек. Существует параметр t, принадлежащий отрезку [0,1] и изменяющийся на нем с некоторым шагом.

, где , и , - координаты векторов относительно точек.

Пример: