Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Смысл квадратурных формул Гаусса состоит в том, чтобы при наименьшем возможном числе узлов точно интегрировать многочлены наивысшей возможной степени. Можно показать, что при гауссовых узлах по полученной формуле можно точно интегрировать многочлены степени . (22)
Для количества узлов и соответствующих значений и - составлены таблицы, которые позволяют вычислять интегралы по формуле (22).
Для понимания сути этих таблиц рассмотрим пример.
Пример:
Пусть нам нужно составить квадратурную формулу с двумя узлами ,по которой точно интегрируются многочлены до степень включительно.
Решение: Искомая формула имеет вид:
, (23)
где - остаток, который обращается в нуль, для
, при .
Тогда, подставляя в (23) имеем:
(24)
Отсюда, приравнивая коэффициенты при , справа и слева, получаем систему уравнений:
(25)
Ее решение имеет вид:
(26)
Следовательно, искомая квадратурная формула такова:
. (27)
Ясно, что если нам нужно вычислить интеграл со многими узловыми точками, действуем следующим образом:
а) промежуток интегрирования делим на - равных промежутков и на каждом маленьком промежутке применяем формулу Гаусса с неравноотстоящими узлами (27);
б) полученные результаты складываем.
В случае, когда , оказывается, что узловыми точками при делении отрезка на - частей являются корни соответствующих многочленов Лежандра.
Для вычисления кратных интегралов, их сводят обычно к повторным интегралам, а далее применяют те же самые кубатурные формулы для каждого значения узловых точек, что и в одномерном случае. Однако, надо иметь в виду, что кратные интегралы значительно сложнее вычислять с заданной точностью.
Точность произведённых вычислений зависит от точности аппроксимации подынтегральной функции многочленами.
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 340 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!