Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Вывод формулы Симпсона будем производить аналитически. Как и в предыдущем случае применяем интерполяционный многочлен Лагранжа, для интерполирования функции , на отрезке , при чём считаем, что нам известны значения . Тогда, очевидно, что многочлен Лагранжа имеет вид квадратичной функции:
(15)
Интегрируя (15) на отрезке будем иметь формулу:
(16)
используя свойство аддитивности интеграла, получаем:
(17)
где является четным числом ( - число делений отрезка ,т.е. число равных отрезков разбиения).
Формула (17)-называется формулой Симпсона.
Приняв обозначения , получаем привычный вид квадратурных формул:
а) Формула трапеций:
(18)
б) Формула парабол (Симпсона) (при )
(19)
ПРИМЕР. Вычислим методом прямоугольников, трапеций и Симпсона при n=2 и сравним погрешности вычислений (точный ответ равен 6.4).
В методе ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ имеем: I»h(f(0+0.5h)+f(0+1.5h))=f(0.5)+f(1.5)=82/16.
При этом получаем погрешность 6.4 - 5.125 =1.275
В методе ТРАПЕЦИЙ имеем: I»h/2(f(0)+f(2))+h*f(0+h)=1/2*(0+16)+f(1)=8+1=9.
Погрешность получается равной 2.6.
В методе СИМПСОНА имеем: I»h/6(f(0)+f(2))+h/3*f(0+h)+2h/3*(f(0+0.5h)+f(0+1.5h)) =16/6+1/3+2/3(82/16)=3+41/12»6.417
Погрешность получается равной 6.417-6.4=0.017
На многих других примерах можно столь же наглядно убедиться, сколь велико преимущество метода Симпсона над методами прямоугольников и трапеций в смысле точности результата. В то же время организация вычислений весьма проста, что и обуславливает широкое применение на практике этого метода.
Теоретические оценки погрешности для представленных трех методов следующие:
для метода прямоугольников |r| £ M2*(b-a)*h2/24;
для метода трапеций |r| £ M2*(b-a)*h2/12;
для метода Симпсона |r| £ M4*(b-a)*h4/180.
,где М2 и М4 –соответственно максимумы модуля второй и четвертой производных интегрируемой функции на отрезке интегрирования. Однако в реальных задачах, как правило, бывает затруднительно или совсем невозможно пользоваться этими формулами, поскольку значение максимумов производных трудно, а порой и невозможно вычислить или даже оценить.
Формула Симпсона. Предположим, что Интеграл приближенного заменяем площадью заштрихованной криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, проходящей через точки де
Указанная парабола задается уравнением
в чем нетрудно убедиться, положив поочередно (ее можно также получить, построив интерполяционный многочлен второй степени и приводя подобные) Отсюда находи (проверить самостоятельно)
Таким образом, формула Симпсона, называемая также формулой парабол, имеет вид
(15)
Положим где -функция (4). Поскольку
то согласно формул Тейлора с остаточным членом в интегральной форме имеем
Отсюда получаем
(16)
т.к. остальные члены взаимно уничтожаются.
Поскольку то применяя к интегралу (16) теорему 1, а затем к полученному результату лемму, находим
(17)
где нектрые точки.
Принимая во внимание, что из (16), (17) приходим к формуле
(18) т.е. к формуле Симпсона с остаточным членом.
Рассмотрим квадратурные формулы прямоугольников (3), трапеций (7) и Симпсона (15) называются каноничными.
(33)
Пример. Исследовать погрешность квадратурных формул для интеграла
при .
Имеем
о
на
Согласно (31)-(33) получаем
Формулы прямоугольников трапеций в отдельности уступают при интегрировании гладких функций формуле Симпсона. Однако в паре они обладают ценным качеством, а именно, если не изменяет знака на то формулы (29) дают двусторонние приближения для интеграла (1), так как согласно (22), (24) их остаточные члены имеют противоположные знаки.
В рассмотренном примере Поэтому
В данной ситуации естественно положить
Тогда т.е. погрешность оценивается через самые приближенные значения интеграла.
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 1032 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!