Изомерия и признаки подобия

Если вспомнить геометрию 8-го класса и три теоремы Евклида о подобии треугольников, то мы вооружимся одной простой, но очень важной формулой, которая пригодится нам в дальнейшем. У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны, то есть их длины связаны между собой одинаковым отношением К, которое можно назвать коэффициентом подобия. Это отношение остается в силе и для других геометрически подобных фигур, в том числе трехмерных. Так, линейные размеры кубов, пирамид, конусов, шаров или тел боле сложной формы, допустим животных, будут иметь одно и тоже постоянное отношение. Геометрически подобные тела часто называют изометрическими. Рассмотрим теперь два куба разных размеров. Пусть у одного из них длина грани будет 1 см, а у другого - 2 см. Эти фигуры изометричны (L₂ = K х L₁) и их коэффициент подобия K = 2. Однако площади поверхности этих фигур различаются уже не пропорционально отношению линейных размеров, а пропорционально их квадрату: (L₂)² = K² х (L₁)².

Аналогично, объемы двух кубов различаются пропорционально третьей степени их линейных размеров. Длина грани второго куба в 2 раза больше, площадь поверхности – в 4 раза, а объем – в 8 раз больше, чем первого.

Таким образом, можно вывести несколько закономерностей, характеризующих изометрию у любых трехмерных объектов.

- поверхность фигуры пропорциональна квадрату ее длины, S~L².

- Объем фигуры пропорционален кубу ее длины, V~L³.

- Поверхность фигуры пропорциональна объему в степени 2/3 или S­­­­­­~V^2/3.

Последнее уравнение показывает, что с увеличением объема тела его поверхность увеличивается не в той же пропорции (в этом случае степень бы равнялась 1), а несколько медленнее, в степени 2/3. Если выразить уравнением зависимость площади поверхности куба любого размера от его объема, то оно примет вид S= 6V^2/3. Если изобразить эту функцию графически, то мы получим нелинейную зависимость, показывающую, что площадь поверхности куба увеличивается не пропорционально его объему, а их отношение уменьшается по мере увеличения размеров фигуры.

[рис1, рис2]

Lg V

	V

Рисунок 1 Соотношение площади Рисунок 2 Соотношение поверхность/