Индукция магнитного поля. Закон полного тока для постоянных во времени полей

Если на неподвижный точечный заряд , помещенный в точку М пространства, действует сила , отличная от нуля или равная нулю, а на тот же самый движущийся заряд через точку М в момент его прохождения этой точки действует сила , то будем говорить, что в точке М, а, следовательно, и в её окрестности, существует магнитное поле.

Таким образом, электрическое поле обнаруживается по силовому воздействию на неподвижные заряды, а магнитное поле обнаруживается по силовому воздействию на движущиеся заряды.

Обозначим через (сила, действующая на заряд со стороны магнитного поля) разность результирующей силы , действующей на движущийся заряд через точку М, и силы , действующей на заряд со стороны электрического поля, т.е.

.

Как показывает опыт, магнитная сила перпендикулярна скорости движения заряда, и ее величина зависит от направления скорости .

Проделаем такой мысленный опыт. Будем многократно перемещать заряд через точку М с одной и той же по величине скоростью , но с разными направлениями скорости. И всякий раз будем измерять силу (ее модуль и направление). Так как сила зависит от направления скорости, то найдется такое направление скорости , при котором сила будет максимальной по модулю. Обозначим магнитную силу при таком направлении через (рис. 2.4).

Рис. 2.4. К определению индукции магнитного поля

Тогда по определению индукцией магнитного поля в точке М называется векторная величина , модуль которой равен

, (2.11)

а направление перпендикулярно векторам и скорости , при которой наблюдается максимум магнитной силы, и направлено в такую сторону, что векторы , и составляют правую тройку векторов при , т.е. при векторы , и сориентированы так же как оси 0x, 0y и 0z правой системы координат.

При произвольном направлении скорости , как показывает опыт, магнитная сила (рис. 2.4) равна:

. (2.12)

Эта формула называется формулой Лоренца.

Результирующая сила, действующая на движущийся заряд со стороны электромагнитного поля, очевидно, будет равна

. (2.13)

Эту формулу иногда также называют формулой Лоренца.

Заметим, что определения напряженности электрического поля и индукции магнитного поля даны в определенной инерциальной системе отсчета, например, в системе отсчета, связанной с лабораторией. Если рассматривать данное электромагнитное поле в другой инерциальной системе отсчета, то величины и в этой системе отсчета будут другими, т.е. величины и не носят абсолютный характер, они относительные.

Например, если в данной инерциальной системе отсчета электромагнитное поле создается неподвижным точечным зарядом, то в этой системе отсчета поле в каждой точке будет иметь определенную величину, а поле (магнитное поле порождается движущимися зарядами). Если это электромагнитное поле рассмотреть в другой инерциальной системе отсчета, движущейся по отношению к первой равномерно и прямолинейно, то в новой системе отсчета заряд будет перемещаться равномерно и прямолинейно, этот движущийся заряд кроме электрического поля будет создавать и магнитное поле , т.е. . Можно показать, что и . Точные формулы и будут выведены в третьей части курса.

Следовательно, разделение электромагнитного поля на электрическое и магнитное поля является относительным. Абсолютный характер, как будет показано в третьей части курса, носит электромагнитное поле в целом.

Как показывает опыт, магнитное поле порождается движущимися зарядами. Для характеристики движения зарядов вводится плотность тока и силы тока (ток). Пусть в некоторой части пространства имеются движущиеся заряды (положительные и отрицательные) (рис. 2.5).

Рис. 2.5. К определению плотности тока

Возьмем физически бесконечно малую площадку , содержащую точку М и перпендикулярную скорости движения зарядов. По определению, плотностью токов в точке М называется величина:

, (2.14)

где – сумма положительных зарядов, прошедших сквозь площадку за малое время , – сумма абсолютных значений отрицательных зарядов, прошедших сквозь площадку за то же время , – скорость движения i -го положительного заряда.

Словесная формулировка определения плотности тока будет выглядеть так. Плотность тока – это векторная величина, модуль которой равен сумме абсолютных значений зарядов, прошедших сквозь единичную площадку перпендикулярную направлению их движения за единицу времени, а направлен вектор плотности тока по направлению движения положительных зарядов или по направлению, противоположному направлению движения отрицательных зарядов.

Если через и обозначить соответственно плотность положительных движущихся зарядов и скорость их движения, а через и – плотность отрицательных движущихся зарядов и скорость их движения, то, очевидно, для плотности тока можно записать:

здесь .

Если имеются движущиеся заряды одного знака, что чаще всего и имеет место, то

. (2.15)

Здесь значок «+» или «-» можно опустить.

Теперь определим силу тока (ток) (рис. 2.6). Стрелка около надписи указывает направление векторов в определении

, (2.16)

где S – сечение проводника. На рис. 2.6 .Направление стрелки около надписи i можно назвать «направление вычисления тока».

Рис. 2.6. К определению силы тока (тока)

Величина тока может быть положительной или отрицательной в зависимости от направления вычисления тока, т.е. направления (или, что тоже, стрелки около надписи ) по отношению к вектору (от нашего выбора не зависит). На рис. 2.6 . Сказанное можно проиллюстрировать также двумя рисунками (рис. 2.7):

Рис. 2.7. Примеры определения знака тока

Приступаем к изложению закона полного тока. Как показывает опыт, движущиеся заряды создают магнитное поле, причем такое, что:

. (2.17)

Здесь – поверхность, натянутая на замкнутый контур , и связаны правилом правоходового винта, (Гн – генри, единица измерения индуктивности).

Закон полного тока (2.17) – причинно-следственная связь между физическими величинами. Справа стоит причина – токи, а слева следствие – магнитное поле.

Приведем пример. Пусть магнитное поле создается токами, протекающими по проводнику кругового сечения; плотность тока постоянна на сечении проводника. Найдем циркуляцию вектора по контуру в виде прямоугольника (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Пример применения закона полного тока в интегральной форме

Направление стрелки около обозначения указывает направление векторов .

.

Если замкнутый контур охватывает проводники с токами, то закон полного тока выглядит так

. (2.18)

Суммируются только токи, которые охватываются контуром . Знак «+» перед током берется, если стрелка этого тока связана с правилом правоходового винта, а знак «-», если стрелка тока связана с правилом левоходового винта. (2.18) легко выводится из (2.17).

Пример (рис. 2.9): Пусть ; , .

Рис. 2.9. Иллюстрация закона полного тока в интегральной форме для случая, когда магнитное поле создается совокупностью проводников с токами

Найдем циркуляцию .

.

Для одиночного прямолинейного бесконечно длинного проводника (рис. 2.10):

Рис. 2.10. Сечение одиночного прямолинейного бесконечно длинного проводника с током

, – проекция В на направление .

,

, , т.к. .

Направление индукции магнитного поля связано с направлением плотности тока правилом правоходового винта. Поэтому, если нам задана стрелка тока и знак тока, то мы можем определить направление .

Пример (рис. 2.11):

Рис. 2.11. Правило правоходового винта определения направления индукции , исходя из направления плотности тока

На рис. 2.11 направлено «к нам». Поэтому имеет такое направление, как указано на этом рисунке.

Если задан ток бесконечно длинного прямолинейного проводника (рис. 2.12),

Рис. 2.12. К определению проекции индукции поля на направление , исходя из направления стрелки тока (направления вычисления тока)

то, в соответствии с (2.18), имеем:

,

(2.19)

Если стрелку на контуре l направить в противоположном направлении, то, очевидно, получим:

. (2.20)

Направление будет определено, если задан знак тока i. Например, если i>0, то по формуле (2.19) . Направлена как указано на рис. 2.12. И это направление согласуется с направлением (при i>0 направлено «к нам») правилом правоходового винта (как всегда).