Побудова параболи

Знаючи параметр р параболи або визначивши його з даного канонічного рівняння параболи, можна побудувати скільки завгодно точок параболи за допомогою циркуля і лінійки.

Для цього виберемо прямокутну систему координат і відносно неї побудуємо директрису d за рівнянням та фокус за даним канонічним рівнянням (рис. 4.21).

На промені OF візьмемо довільну точку К, відстань якої від директриси позначимо через , і через неї проведемо пряму , перпендикулярну до осі абсцис. З фокуса, як з центра, опишемо коло , яке перетне пряму у точках М і М ₁. Ці точки належать колу, тому , вони належать і прямій , тому відстань їх від директрими дорівнює . Отже, точки М і М ₁ належать параболі з параметром р.

Змінюючи положення точки К на осі абсцис, знайдемо аналогічною побудовою скільки завгодно пар точок, що належать параболі.

Накреслити дугу параболи, виходячи з її означення, можна за допомогою ліній­ки, косинця і нитки. Нехай заданий фокус F і дирек­три­са d параболи (рис. 4.22). Закріпимо на план­шеті лінійку так, щоб один її край сумістився з дирек­трисою. До лінійки прикла­демо меншим катетом косинець і до вершини К протилежного кострого кута закріпимо один кінець нитки, довжина якої дорівнює більшому катету касинця. Другий кінець нитки закріпимо у фокусі F. Якщо переміщувати косинець вздовж лінійки (директриси), тримаючи нитку натягнутою олівцем, то олівець М буде креслити дугу параболи.

Справді, і , тому .

Замість лінійки і косинця можна використати рейсшину з щілиною для руху олівця (рис. 4.23)

3.4. Прабола

Припустимо, що вершина параболи знаходиться не в початку координат, а в точці , і її вісь симетрії паралельна осі ОY (рис. 4.24). Перенесемо початок координат О в без зміни напряму осей координат, дітанемо нову систему координат з осями і . У новій системі координат вершина параболи суміщається з її початком, і вісь параболи – з вісттю , тому рівняння параболи матиме канонічний вигляд

(2)

Щоб мати рівняння цієї параболи в старій системі координат (, використаємо формулу паралельного перенесення системи координат на площині

. (3).

Підставивши ці значення і в рівняння (2), матимемо

. (4)

Отже, рівняння (4) є рівнянням параболи, вершиною якої в даній системі координат є точка

Покажемо тепер, що лінія, задана рівнянням

(5)

є парабола. Для цього досить його звести до вигляду (4). Поділимо обидві частини рівняння (5) на і перенесемо вільний член у ліву частину, матимемо:

Доповнимо тепер праву частину до повного квадрата, для чого додамо до обох частин рівняння :

.

Позначивши

, , (6)

матимемо рівняння виду (4): .

Отже, рівняння (5) є рівнянням параболи, вісь симетрії якої паралельна осі ОY. Координати вершин і параметр р визначаються формулами (6).

Приклад. Знайти координати вершини і параметр р параболи .

Розв’язання. Використаємо формули (6), маючи , , .

; ; ; .

Рівняння даної параболи відносно параметра р і координат вершини має вигляд:

§4. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярній системі координат

Оскільки еліпс, гіпербола і парабола мають спільну властивість, пов’язану з їх директрисами і ексцентриситетом, то її можна використати для того, щоб скласти єдине полярне рівняння для всіх кривих.

Нехай – одна з кривих: еліпс, гіпербола або парабола. Виберемо полярну систему координат таким чином: за полюс візьмемо один з фокусів кривої (лівий фокус еліпса, правий фокус гіперболи або фокус параболи). Полярну вісь направимо перпендикулярно до директриси (рис. 4.25).

Нехай – полярний радіус довільної точки М лінії , а – її полярний кут. Проведемо через фокус F паралельно до директриси d пряму, яка перетинає лінію в деякій точці А. Позначимо відстань FA=p. Опустимо з точок М і А перпендикуляри на директрису: . Як було доведено у §§ 1, 2, 3 даного розділу, для кожної точки М лінії має місце співвідношення:

(1)

Але

, (2)

. (3)

У прямокутному трикутнику , тому

. (4)

Точка А також належить цій лінії, тому і , звідки ,

. (5)

Підставивши (4) і (5) у (3), дістанемо

. (6)

Підставивши (2) і (6) в (1), матимемо

; ;

. (7)

Рівняння (7) є полярним рівнянням лінії другого порядку.

При це буде рівняння еліпса, при – рівняння гіперболи, а при – рівняння параболи.

Число р називається полярним параметром лінії. Виразимо його через параметри канонічних рівнянь кривих. Точка А, очевидно, має полярні координати . Декартові координати її у випадку еліпса А (-с;р). Підставимо ці координати в канонічне рівняння еліпса: , звідки

.

Але для еліпса . Отже, , а

. (8)

Якщо лінія є гіперболою, то декартові координати точки А(с; р). Підставимо їх у канонічне рівняння гіперболи і знайдемо р:

; .

Для гіперболи , тому , а так само, як і для еліпса.

Для параболи полярний параметр р дорівнює відстані від фокуса параболи до директриси: , тобто параметру р канонічного рівняння параболи .

Приклад. Записати канонічне рівняння кривої, полярне рівняння якої має вигляд .

Розв’язання. Запишемо дане полярне рівняння у вигляді (7):

.

Отже, , тому це – рівняння еліпса. Враховуючи формулу (8) і означення ексцентриситету, складемо систему рівнянь:

Знайдемо звідси і , враховуючи, що . Отримаємо

Отже, канонічне рівняння даного еліпса .

§5. Еліпс, гіпербола і парабола як конічні перерізи

Означення 5.1. Круговим конусом називається поверхня, утворена обертанням прямої навколо осі, якщо ця пряма перетинає вісь обертання.

Пряма, яка обертається, називається твірною конуса. Точка перетину твірних з віссю називається вершиною конуса.

Лінії перетину поверхні кругового конуса площиною називають конічними перерізами.

Конічні перерізи були відомі вже математикам Стародавньої Греції, наприклад Менехму (IV ст. до н.е.). За допомогою конічних перерізів розв’язували деякі задачі на побудову (задача подвоєння куба). Грецькі геометри одержували конічні перерізи, проводячи січну площину перпендикулярно до однієї з твірних. В перерізі діставали еліпс, гіперболу або переболу в залежності від величини кута між твірною і віссю конічної поверхні.

Найбільш повне дослідження властивостей конічних перерізів була дано Аполлонієм Перським (біля 200 років до н.е.).

Перехід до планіметричного означення конічних перерізів, як їх розглядають тепер, був здійснений бельгіським геометром Ж.Денделеном (ХІХ ст.).

Теорема 5.1. Площина, яка не про­хо­дить через вершину конуса і перетинає всі його твірні, перетинає конус по еліпсу.

Д о в е д е н н я. Нехай деяка площина не проходить через вершину конуса і перетинає всі його твірні (рис. 4.26). Лінію пе­ре­тину цієї площини з конусом позна­чимо . Впишемо в конус дві кулі так, щоб вони дотикались до поверхні конуса і до площини . Позначимо через і точки дотику цих куль з площиною . Нехай М – довільна точка на лінії . Проведемо через точку М твірну. Нехай А і В – точки дотику цієї твірної з вписаними кулями. і – відрізки дотичних, проведених з точки М до верхньої кулі, тому . Аналогічно . Отже,

, бо відрізки, які відтинаються на твірних конуса їх точками дотику з вписаними кулями, рівні між собою. Отже, лінія є еліпсом. Точки і – його фокуси. Теорему доведено.

Теорема 5.2. Якщо конус перетнути площиною так, щоб ця площина не проходила через його вершину і перетинала обидві його порожнини, то в перерізі утвориться гіпербола.

Доведення. Нехай деяка площина перетинає обидві порожнини конуса і не проходить через його вершину (рис. 4.27). Лінію перетину цієї площини з конусом позначимо . Впишемо в кожну з порожнин кулю таким чином, щоб обидві кулі дотикалися до поверхні конуса і до площини . Візьмемо на лінії довільну точку М і проведемо через неї твірну конуса.

Позначимо через А і В точки дотику цієї твірної з вписаними кулями, а через F ₁ і F ₂ – точки дотику вписаних куль з площиною . Тоді як відрізки дотичних, проведених з однієї точки до верхньої кулі. Аналогічно .

Тому . Отже, лінія перетину площини з конусом є гіперболою, а точки F ₁ і F ₂ – її фокуси. Теорему доведено.