Ексцентриситет і директриси гіперболи

Нехай гіпербола задана рівнянням:

(1)

Означення 2.2. Ексцентри­си­те­том гіперболи називається число

. (2)

У гіперболи , тому . Ексцентриситет гіперболи визначає її форму. Дійсно,

, звідки

. (3)

Якщо , то . У цьому випадку вітки гіперболи розширюються.

Якщо , то – вітки гіперболи звужуються.

На рис. 4.15 зображено гіперболи з ексцентриситетами де .

Означення 2.3. Директрисами гіперболи називаються прямі, паралельні до її уявної осі і розміщені на відстані по обидва боки від неї.

Рівняння директрис у канонічний системі координат

.

Директриси лежать між вітками гіперболи, бо (рис. 4.14).

Директриси гіперболи мають таку ж властивість, що й директриси еліпса. Справджується така теорема.

Теорема 2.1. Відношення відстаней від довільної точки гіперболи до фокуса і відповідної директриси є величина стала і дорівнює ексцентриситету гіперболи.

Доведення. Нехай М(х,у) – довільна точка гіперболи (рис. 4.14). Припустимо, що вона лежить на правій вітці гіперболи. Тоді, як показано в §2, , , а відстані від цієї точки до директрис

, .

Тоді

, ,

що й треба було довести.

Аналогічно розглядається випадок, коли точка М лежить на лівій вітці гіперболи.

Теорему доведено.

Приклад. Ексцентриситет гіперболи , центр її лежить у початку координат, одна із директрис задана рівнянням х = –8. Обчислити відстань від точки М₁ гіперболи з абсцисою х₁=10 до фокуса, що відповідає другій директрисі.

Розв’язання

Оскільки в канонічній системі координат директриси гіперболи симетричні відносно початку координат, то рівняння другої директриси даної гіперболи х = 8. Тоді відстань d від точки М ₁ до цієї директриси: . За доведеною теоремою , тобто , звідки .