Спосіб

У прямокутній системі координат на осі абсцис відкладемо відрізки , , проведемо довільний промінь і коло (О; а), які перетнуться в точці F (рис. 4.17). Через точку В проведемо пряму, перпендикулярну осі абсцис, вона перетне промінь у точці С. Через точку F проведемо дотичну до кола (О; а), вона перетне вісь абсцис у точці D. Точка М перетину прямої, ппроведеної через точку С паралельно осі ОХ, з прямою, проведеною через точку D паралельно вісі ординат, належить гіперболі.

Справді, з подібності трикутників ОВС і ODF (прямокутні і мають спільний гострий кут) маємо .

Позначивши через х і у координати точки М, знайдемо ; , ; і попередня рівність набуде вигляду ,

а звідси і .

Отже, точка М належить гіперболі.

Змінюючи положення променя , знайдемо скільки завгодно точок гіперболи.

3 спосіб.

Безпосереднє креслення частини вітки гіперболи можна виконати таким чином. Візьмемо нерозтяжну нитку довільної довжини і зав’яжемо на ній вузол у такій точці Р, щоб різниця відрізків, на які точка Р поділила всю нитку, дорівнювала даній величині 2 а, меншій відстані між фокусами .

Вузол закріпимо в точці Р, а кінці нитки – в фокусах і . Зробивши петлю, вставимо в неї олівець і в натягнутому положенні будемо викреслювати олівцем лінію, яка і буде частиною вітки гіперболи (рис. 4.18). Справді, нехай одне з положень олівця в точці М.

Тоді .

§3. Парабола