Ексцентриситет і директриси еліпса

Означення 1.2. Ексцентриситетом еліпса називається число

(9)

Для еліпса , бо .

Виразимо відношення осей еліпса через ексцентриситет:

Оскільки , то

. (10)

Із (10) випливає, що коли , то , тобто еліпс наближається до кола. Якщо ж, , то . Зафіксувавши велику піввісь а, матимемо, що , тобто еліпс стає більш витягнутим. На (рис. 4.5) .

Означення 1.3. Директрисами еліпса називаються прямі, паралельні до його малої осі і розміщені на відстані по обидва боки від неї. Рівняння директрис . У еліпса , тому , отже, директриси розміщені зовні еліпса (рис. 4.6).

Теорема 1.1. Відношення відстаней від будь-якої точки еліпса до його фокуса і відповідної директриси є величина стала і дорівнює ексцентриситету еліпса.

Д о в е д е н н я. Нехай – довільна точка еліпса (рис. 4.6). Тоді за формулою (6) §1 . Відстань від точки М до правої директриси – це довжина перпендикуляра :

.

Знайдемо відношення цих відстаней:

.

Аналогічно (формула (7) §1), , тоді .

Теорему доведено.