Целевая функция типа (2.109) называется функцией максимального правдоподобия

В таком случае в условиях независимости разновременных ошибок e_t и e_t–i

оптимальныезначения a ₀^*, a ₁^*,..., a_n ^* и s _e ² в этом случае могут быть найдены путем решения следующей системы из п +2-х дифференциальных уравнений в частных производных по этим параметрам:

Векторно-матричная форма:

у = Х × a + e,

вектор ошибки можно представить в следующем виде:

e = у – Х × a,

Дифференцируя по неизвестному вектору параметров a и по неизвестной дисперсии ошибки s_e ², получим

¶ l /¶ a = (– Х ¢ × у + Х ¢ × Х × a)=0;

¶ l /¶ s_e ²= (у – Х × a)¢×(у – Х × a)=0.

Поскольку s_e ²¹0, из первого уравнения системы (2.116) непосредственно получаем вектор оценок ММП коэффициентов линейной эконометрической модели в следующем виде:

a ^*= a =(Х ¢ Х)^–1× Х ¢× у,

а из второго – оценку ММП дисперсии ошибки эконометрической модели:

s _е ² = (у – Х × a)¢×(у – Х × a)=

Выражение (2.117) ничем не отличается от своего аналога (2.8), полученного с использованием МНК, а оценка дисперсии ошибки модели, полученная на основании выражения (2.118), является смещенной. Вследствие этого на практике используют несмещенную оценку дисперсии, определяемую следующим образом:

Таким образом, при предположении о нормальном законе распределения ошибки эконометрической модели и ее свойствах, определенных выражениями (2.20)–(2.24), оценки ее коэффициентов, полученные с использованием методов максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают. Аналогичное совпадение отмечается и у ковариационных матриц этих оценок.

Если же ошибки модели распределены по другому закону (например, Гаусса с тяжелыми хвостами, Стьюдента и т. п.), то вообще говоря, выражения для оценки коэффициентов, полученные на основе ММП, будут отличаться от их аналогов, полученных с использованием МНК.