Границя функції

Означення 3.27. Точка називається граничною точкою множини , якщо існує її окіл, точки якого, крім, можливо, самої точки , належать множині .

Розглянемо поведінку функції , що визначена в деякому околі граничної точки . У цьому околі можна побудувати числову послідовність , яка має своєю границею число . За умовою, що , функція буде визначена в усіх точках , тобто відповідні значення функції також утворюють числову послідовність . Зрозуміло, що послідовностей можна побудувати скільки завгодно. Відповідно, послідовностей значень функцій також буде нескінченна кількість.

Наприклад, . Обчислимо її границю:

Означення 3.28. (Означення границі функції за Гейне).

Число називається границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якої числової послідовності , границя якої є число , послідовність відповідних значень функції має границею число .

За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді:

.

Позначається це так:

.

Означення 3.29. (Означення границі функції за Коші).

Число називається границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якого додатного числа існує додатне число , яке залежить від , таке, що для всіх , які задовольняють нерівності , відповідні значення функції задовольняють нерівності .

За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді:

.

Означення 3.30. (Геометричне означення границі функції).

Число називається границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якого додатного числа існує додатне число , яке залежить від , таке, що для всіх , які належать -околу точки , відповідні значення функції належать -околу точки .

За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді:

.

Виходячи з означення границі за Гейне, можна сформулювати і довести властивості границі функцій, спираючись на відповідні властивості числових послідовностей. Разом з тим, деякі властивості границі функції потребують уточнення.

Наприклад, необхідна умова збіжності числових послідовностей є їх обмеженість. Ця ж умова для функцій буде такою: якщо функція має границю при , то існує деякий окіл точки , у якому функція є обмеженою.

Згідно з означенням границі за Гейне, розглядати треба всі числові послідовності , які мають границею . Серед них можна відокремити такі, що задовольняють деяким додатковим умовам, наприклад .

Якщо всі послідовності значень функції, побудовані на основі таких послідовностей, мають рівні границі, то кажуть, що в точці функція має односторонню границю, у даному випадку ліву:

.

Аналогічно визначається правостороння границя:

.

Теорема 3.18. Для того щоб існувала границя функції при , необхідно і достатньо, щоб існували і були рівними її право- і лівосторонні границі (Без доведення).