Теореми порівняння

Теорема 3.12. Якщо члени збіжної числової послідовності, починаючи з деякого номера, невід’ємні, то границя її є невід’ємною.

Доведення. Нехай у послідовності , починаючи з номера , члени

невід’ємні. Припустимо протилежне: границя послідовності менша за нуль:

.

Візьмемо . Тоді буде містити лише від’ємні числа. За означенням границі, починаючи з номера , усі члени послідовності належатимуть . Виберемо . Тоді одночасно буде більшим за нуль за умовою теореми та меншим за нуль, оскільки належить . Отримане протиріччя доводить твердження теореми.

Теорема 3.13. Якщо члени двох збіжних числових послідовностей, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності , то їх границі задовольняють нерівності

.

Доведення можна зробити, розглянувши послідовність , скориставшись теоремою 3.13.

Теорема 3.14. Якщо для членів трьох числових послідовностей

,

починаючи з деякого номера , виконується нерівність

,

причому , то послідовність також є збіжною і .

(Без доведення).

Існує велика кількість теорем Вейєрштрасса. Наведемо, без доведення, три з них, які встановлюють умови збіжності числових послідовностей.

Теорема 3.15. Будь-яка монотонно зростаюча й обмежена зверху числова послідовність має границю.

Теорема 3.16. Будь-яка монотонно спадна й обмежена знизу числова послідовність має границю.

Теорема 3.17. Будь-яка монотонна й обмежена числова послідовність має границю.

Використовуючи теорему 3.15, доводиться так звана друга важлива границя:

,

де - число Ейлера.

Запитання та завдання для самоперевірки

1. Чи утворюють числові послідовності лінійний простір?

2. Сформулюйте поняття нескінченно великої та необмеженої числових послідовностей.

3. Сформулюйте та доведіть теорему про зв'язок нескінченно малої та нескінченно великої числових послідовностей.

4. Доведіть за означенням, що число 3 є границею послідовності .

5. Починаючи з якого номера, члени послідовності будуть відрізнятися від числа 2, менше ніж на ?