З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах

Якщо ми маємо деяку «фізичну систему» і ця система у певні моменти часу змінює випадковим чином свій стан, то говорять, що в системі протікає випадковий процес. Випадковий процес Х(t) називається процесом з дискретним часом, якщо система, в якій він відбувається, може змінювати свої стани лише у фіксовані моменти часу t₁, t₂…, t_і,… (кількість яких – скінчена або зліченна). Якщо переходи системи із одного стану до іншого можуть здійснюватися в будь-який момент часу t, то випадковий процес Х(t) називається процесом із неперервним часом. Випадковий процес Х(t) називається процесом із дискретними станами, якщо в будь-який момент часу t його перерізом є дискретна випадкова величина. Випадковий процес Х(t) називається процесом з неперервними станами, якщо його переріз у будь-який момент часу t є неперервною випадковою величиною.

Теорію випадкових процесів започаткував видатний російський математик Андрій Андрійових Марков (1856-1922). Випадковий процес Х(t), t є [0; Т], називається марковським, якщо для моментів часу t₁<t₂<…<t_n умовна функція розподілу для моменту часу t_к випадкового процесу X (t_k) (k = 1, 2,...,n) залежить лише від функцій розподілу для моменту часу t_k-1 цього процесу Х(t_k-1) і не залежить від функцій розподілу X (t_і) для і = 1, 2, …, k-2.

Системи, що реалізують багаторазове виконання однотипних завдань, називають системами масового обслуговування. Предмет теорії масового обслуговування – побудова та дослідження математичних моделей, які пов’язують задані умови роботи СМО (число каналів, їх продуктивність, правила роботи, характер потоку заявок) з характеристиками, що нас цікавлять (показниками ефективності функціонування СМО).

Дуже корисними виявилися марковські моделі СМО.

Приклади СМО – це банки, страхові організації, товарні станції, магазини, ремонтні майстерні, каси тощо. Таким чином, основні елементи СМО – це:

- вхідний потік заявок;

- обслуговуючі прилади (канали);

- дисципліна обслуговування;

- потік виконаних заявок.

Характеристики ефективності функціонування СМО – це:

- показники ефективності її використання (наприклад, абсолютна пропускна спроможність СМО, тобто середнє число заявок, яке вона зможе обслужити за одиницю часу; відносна пропускна спроможність СМО – відношення середнього числа заявок, які вона обслуговує за одиницю часу, до середнього числа заявок, що надійшли за цей же час);

- показники якості обслуговування заявок (наприклад, середній час очікування заявки в черзі; середній час перебування заявки в СМО; середнє число заявок, що знаходяться в СМО або в черзі на обслуговування та ін.);

- показники ефективності функціонування пари «СМО – споживач» (наприклад, середній дохід від СМО за одиницю часу).

Нехай задана система з n однаковими обслуговуючими приладами, в яку надходить найпростіший потік заявок з інтенсивністю ; потік обслуговування має інтенсивність . Заявка, що надійшла, коли всі прилади зайняті, покидає систему (кожен прилад може одночасно обслуговувати тільки одну заявку).

Граф станів СМО з відмовами відповідає частинному випадку схеми загибелі та народження.

Система звичайних диференціальних рівнянь Колмогорова відносно ймовірностей p₀(t), p₁(t),…, p_k(t), …, p_n(t) перебування системи в станах S₀, S₁,…, S_k,…, S_n. в момент часу t для цього частинного випадку має вигляд:

.

Неважко переконатися, що в стаціонарному режимі роботи (при ) отримаємо:

де

Це – формули А.К. Ерланга, відомого математика з Данії, засновника теорії масового обслуговування. Ці формули вперше були одержані на початку ХХ століття і застосовувалися для вивчення телефонних систем.

Стала величина називається зведеною інтенсивністю потоку заявок; дорівнює середньому числу заявок, які надходять протягом середнього часу обслуговування однієї заявки.

Заявка отримає відмову, якщо вона застане всі прилади зайнятими (тобто коли система знаходиться у стані S_n). Таким чином, ймовірність відмови дорівнює За допомогою формул Ерланга легко визначити

- відносну пропускну здатність системи q:

q =1-Р_n;

- абсолютну пропускну здатність системи A:

A = q;

- середнє число зайнятих приладів

.

Розглянемо СМО з обмеженою чергою.

Можна довести, що формули для граничних ймовірностей станів в усталеному режимі мають вигляд:

де . При цьому ймовірність відмови дорівнює P_n+m;

відносна пропускна спроможність системи q визначається за формулою q = 1- P_n+m;

абсолютна пропускна спроможність А –

А = ;

середнє число зайнятих приладів -

= ;

середня довжина черги -

середнє число заявок у системі -

;

середній час очікування початку обслуговування -

;

середній час перебування заявки у системі -

.

Наведемо основні характеристики СМО з необмеженою чергою:

Сітьове планування і управління – це науково обгрунтована система планового керівництва та ефективного контролю за ходом виконання різних робіт (наприклад, по реконструкції заводів, освоєнню нових виробів, впровадженню нових технологій та ін.). Методи сітьового планування і управління основані на теорії графів, яка зародилась понад 200 років тому при розв’язуванні головоломок. Розрізняють такі події сітьового графіка:

а) вихідна подія – це результат, відносно якого умовно припускають, що він не має попередніх робіт;

б) завершаюча подія – результат, у відношенні якого припускається, що за ним немає жодної роботи;

в) проміжна подія – це результат виконання однієї або декількох робіт, що дає можливість розпочати наступні роботи;

г) початкова подія – це подія, що безпосередньо передує даній роботі;

д) кінцева подія – це подія, що безпосередньо з'вляється за даною роботою.

Шляхом у сітьовому графіку називається будь-яка послідовність робіт (стрілок), що зв’язує які-небудь дві події. Шляхи, що пов’язують вихідну та завершаючи події, вважаються повними, а всі інші шляхи – неповними. Повний шлях найбільшої довжини називається критичним шляхом. Час виконання всього комплексу робіт дорівнює довжині критичного шляху. На графіку критичний шлях зображають жирною лінією.

Для кожної події розраховують такі показники: ранній і пізній час її настання, резерв часу настання події.

Ранній час настання j -ої події t_p(j) визначається найдовшим відрізком шляху від вихідної до даної події:

пізній час настання і -ої події визначається величиною шляху мінімальної довжини, що веде до неї від завершаючої події:

у наведених формулах t (i, j) – час виконання роботи (i, j).

Резерв часу події – це різниця між самим пізнім і самим раннім строками її настання. Величина резерву показує, на який максимально допустимий період часу може затриматися поява тієї чи іншої події, не викликаючи небезпеку зриву появи завершаючої події. Події, які знаходяться на критичному шляху, не мають резервів часу для їх настання.

В реальних умовах тривалості виконання робіт не є детермінованими – це випадкові величини. Будь-яка робота характеризується такими числами:

- найвірогідніша тривалість її виконання;

- оптимістична тривалість (найменша з очікуваних);

в – песимістична тривалість (найбільша з очікуваних).

Математичне сподівання тривалості виконання роботи при досить загальних припущеннях обчислюють за формулою: . При цьому дисперсія визначається рівністю: D = .

Тривалість критичного шляху є сумою математичних сподівань тривалостей відповідних робіт. Якщо число цих робіт досить велике, їх вважають статистично незалежними; загальна дисперсія критичного шляху дорівнює сумі дисперсій критичних робіт. При проведенні розрахунків вважають, що випадкова величина, яка дорівнює тривалості критичного шляху, розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням t_кр і дисперсією D_кр.

Ймовірність того, що термін виконання проекту t_кр. не перевищуватиме директивного терміну d, обчислюють за формулою:

,

де Ф – функція Лапласа.