З метою глибокого засвоєння навчального матеріалу при самостійному вивченні теми студенту варто особливу увагу зосередити на таких аспектах. Будь-якій задачі лінійного програмування відповідає двоїста лінійна задача

Будь-якій задачі лінійного програмування відповідає двоїста лінійна задача. Пара симетричних двоїстих задач лінійного програмування має вигляд

пряма задача:

двоїста задача:

Наведемо основні теореми теорії двоїстості.

Перша теорема двоїстості: якщо одна із двоїстих задач має оптимальний розв’язок, то і друга має оптимальний розв’язок, причому екстремальні значення цільових функцій співпадають.

Якщо одну із двоїстих задач неможливо розв’язати через необмеженість цільової функції на множині допустимих розв’язків, то система обмежень другої задачі суперечлива.

Розв’язавши симплексним методом одну із пари двоїстих задач, автоматично отримуємо розв’язок іншої, скориставшись відповідністю змінних прямої і двоїстої задач і оцінок в останньому рядку останньої симплекс-таблиці:

х1	х2	…	xj	…	xn	xn+1	xn+2	…	xn+i	…	xn+т
↕	↕		↕		↕	↕	↕		↕		↕
ym+1	ym+2	…	ym+j	…	ym+n	y1	y2	…	yi	…	yn
∆1*	∆2*	…	∆j*	…	∆n*	∆n+1*	∆n+2*	…	∆n+i*	…	∆n+m*

Маємо наступне правило: якщо пряма задача розв’язується на максимум, то оптимальний розв’язок У^* визначається за формулами:

y^*₁=∆^*_n+1, y^*₂=∆^*_n+2,…, y^*_i=∆^*_n+і,…,y^*_m=∆^*_n+т,

y^*_m+1=∆^*₁, y^*_m+2=∆^*₂,…, y^*_m+j=∆^*_j,…, y^*_m+n=∆^*_n.

Якщо ж пряма задача розв’язується на мінімум, то

y^*_i=-∆^*_n+і (i=1,2,…,m), y^*_m+j=-∆^*_j (j=1,2,…,n).

Друга теорема двоїстості (теорема про доповнюючу нежорсткість): для того, щоб плани Х^* і У^* пари двоїстих задач були оптимальними, необхідно і достатньо виконання умов доповнюючої нежорсткості:

Таким чином, якщо , то якщо то . Аналогічно:

якщо то

якщо то

Отже, двоїсті оцінки можуть служити мірою дефіцитності ресурсів. Дефіцитний ресурс (який повністю використовується, згідно з оптимальним планом виробництва) має додатну оцінку, а той ресурс, що використовується не повністю, має нульову оцінку.

Третя теорема двоїстості: двоїсті оцінки показують приріст цільової функції, викликаний малою зміною вільного члена відповідного обмеження ЗЛП, тобто

Двоїста оцінка наближено дорівнює зміні цільової функції при =1. Двоїсті оцінки у_і ще називають скритими, тіньовими або маргінальними оцінками ресурсів.