Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей

В практике встречаются случаи, когда размеры членов пото­ка платежей изменяются во времени. Такие изменения могут быть связаны с какими-либо обстоятельствами объективного порядка (например, условиями производства и сбыта продук­ции), а иногда и случайными факторами. Частным случаем та­кого потока является переменная рента. Члены переменной рен­ты изменяются по каким-то установленным (принятым, огово­ренным и т.д.) законам или условиям развития.

Ниже рассматриваются несколько видов переменных рент, причем с меньшей детальностью, чем были обсуждены посто­янные ренты. Основное внимание уделено принципиальным зависимостям, знание которых позволяет разработать расчет­ные формулы для любых конкретных видов переменных рент.

Ренты с постоянным абсолютным изменением членов во време­ни. Изменения размеров членов ренты происходят здесь соглас­но арифметической прогрессии с первым членом R и разностью а, иначе говоря, они образуют последовательность

Л, R + a, R + 2а,..., Л + (л - \)а.

Величина /-го члена ренты равна R + (/ - \)а. Определим наращенную сумму такой ренты. Для ренты го­довой постнумерандо получим¹:

/ а\ navⁿ
Л = [*⁺7]⁰»;<----- Г' ⁽⁶¹⁾

где v — дисконтный множитель по ставке /.

¹ Доказательство приведено в Математическом приложении к главе. 126

Напомним, что a_tri — современная стоимость постоянной ренты постнумерандо с членом, равным 1. Нетрудно видеть, что в приведенной записи результат представляет собой современ­ную стоимость постоянной ренты с членом (R + a/i) за выче­том поправочной величины nav" / /.

Наращенную сумму ренты легко получить, умножив форму­лу (6.1) на (1 + /)^л. После чего

Па

^j-»⁺tN-t

(6.2)

Определим теперь влияние на современную стоимость рен­ты абсолютного прироста платежей. Для этого преобразуем (6.1):

А = Ra... +

^an-i ~ ^nv"

-а.

(6.3)

Данная формула показывает, что А линейно зависит от а. Аналогичным образом на основе (6.2) получим линейную зави­симость для S:

(s.., - п) S= Rs. + "''. а.

(6.4)

Формулы (6.1) и (6.2) и их преобразования (6.3) и (6.4) по­лучены для рент постнумерандо. В свою очередь для рент пре­нумерандо находим

(1 + 0 =

п-\

/ па

(1 + /).

LV

А =

navⁿ

/ I ^л»'

Nav

= l* + 7i*«/

SnJ ~

S=\R+-

(6.5)

(6.6)

Напомним, что а_л;/, i"_ir/ — коэффициенты приведения и нара­щения дискретной постоянной ренты пренумерандо (см. § 5.5).

ПРИМЕР 6.1. Платежи постнумерандо образуют регулярный во времени поток, первый член которого равен 15 млн руб. После­дующие платежи увеличиваются каждый раз на 2 млн руб. Начис-

ление процентов производится по 20% годовых. Срок выплат — 10 лет.

По условиям задачи Я = 15, а = 2, / = 20%, п = 10. Табличные значения коэффициентов а_10;20 = 4,192472, V^ю = 0,161505.