Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами

Покажем, что при неограниченном увеличении числа n узлов на отрезке [a,b] последовательность сплайн-функций сходится к интерполируемой функции.

Для упрощения рассмотрим последовательность сеток с равномерными расположениями узлов:

.

В этом случае система уравнений (4.17) принимает более простой вид

Пусть аппроксимируемая функция f(x) непрерывна вместе со своими производными вплоть до четвертого порядка, то есть , а также имеют место равенства

.

Обозначим:

- чебышевская норма на отрезке [a,b];

- чебышевская норма на сеточной области ;

- разностный аналог второй производной аппроксимируемой функции f(x);

.

Теперь система уравнений (4.17) выглядит следующим образом:

(4.18)

Лемма 4.1. Для всех справедлива оценка .

Доказательство. В силу определения введенной нормы на сеточной области необходимо проверить точки , для которых .

Обозначим погрешность

.

Для k = 0 и k = n, в частности, .

Уравнения (4.18) в новых обозначениях принимают вид

(4.19)

Обозначим

(4.20)

,

причем

- разностный аналог второй производной функции в точке .

Воспользуемся формулами Тейлора:

,

.

Аналогичным образом построим разложение для функции :

,

.

Теперь можно оценить разностные аппроксимации производных:

,

.

Подставим полученные выражения в формулы (4.20):

.

Отсюда получаем

Теперь, согласно формулам (4.19), получаем

,

.

Поскольку эта оценка имеет место во всех точках сеточной области , то она справедлива и в точке, где достигает максимума, то есть

.

Следовательно,

,

,

откуда сразу следует утверждение леммы 4.1.

Теорема 4.3. Для любой функции справедливы оценки:

, (4.21)

, (4.22)

. (4.23)

Доказательство. Рассмотрим произвольный отрезок . Согласно определению сплайна (4.8), а также учитывая формулы (4.11), получаем

.

Несложно проверить справедливость следующего тождества:

(4.24)

Оценим первое слагаемое в правой части (4.24):

.

Проведем оценку второго слагаемого. Согласно формуле Тейлора

,

.

Отсюда получаем соотношения для разностей

,

.

Теперь можно преобразовать второе слагаемое в правой части формулы (4.24):

.

Произведем оценку:

.

При выводе последнего соотношения учтено, что

.

Теперь можно оценить левую часть тождества (4.24):

. (4.25)

Учитывая, что выражение (4.25) справедливо для любого отрезка, его можно использовать и для оценки погрешности на всем участке :

.

Отсюда получаем

,

то есть утверждение (4.23) теоремы.

Для доказательства соотношения (4.22) введем на отрезке вспомогательную функцию . В силу определения сплайна, . Но тогда, в соответствии с теоремой Ролля[29], существует хотя бы одна точка .

В этом случае, используя теорему Лагранжа, можно произвести оценку

,

откуда, с учетом соотношения (4.25), получаем

.

Поскольку это неравенство справедливо на любом отрезке , с его помощью можно получить получить утверждение (4.22) теоремы:

.

Для получения последнего утверждения (4.21) построим на отрезке функцию

.

Из условия обращения этой функции в нуль для произвольно выбранного значения

определим значение константы

.

Очевидно, что теперь

.

Это означает, что существует хотя бы одна точка . Отсюда получаем

,

,

.

Отсюда, с использованием неравенства (4.25), следует оценка отклонения значения сплайн-аппроксимации от значения функции для выбранной точки :

.

Здесь учтено, что

.

Поскольку последнее неравенство справедливо для любого , получим выражение (4.21) теоремы:

,

что и требовалось доказать.