Интерполяционная формула Лагранжа

Идея записи интерполяционного полинома Лагранжа заключается в следующем:

, (4.4)

то есть в каждой точке x значение полинома определяется как линейная комбинация табличных значений.

Воспользуемся условием (4.1):

.

Отсюда очевидно, что должно выполняться условие

,

то есть на отрезке интерполяции [a, b] каждая из функций должна иметь n корней.

Вполне естественно представить в виде полиномов

,

- нормировочный коэффициент, определяемый из условия, что , то есть

.

Теперь можно записать полином Лагранжа в общем виде:

. (4.5)

Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)

Погрешность представления функции полиномом оценим разностью

.

Очевидно, что в узлах погрешность .

Для оценки погрешности выберем и зафиксируем произвольную точку . Рассмотрим вспомогательную функцию

, (4.6)

K - константа. Очевидно, что . Выберем константу К в выражении (4.6) так, чтобы для выбранного значения x функция g(x) = 0, то есть

.

Пусть функция y(x) имеет (n+1) производную, то есть является достаточно гладкой функцией. Согласно построению функция g(s) имеет не менее (n+2) нулей в точках . В этом случае функция на отрезке [a,b] имеет не менее (n+1) нулей; - не менее n нулей, и так далее. И, наконец, имеет хотя бы один корень на отрезке [a,b]. Иначе говоря, . В силу определения функции g(s),

,

и для точки x получаем

.

Отсюда следует

.

Окончательно,

. (4.7)

В частном случае, когда y(x) является полиномом степени n, и . Дополнительно можно подобрать такое распределение узловых точек , чтобы минимизировать выражение

,

являющееся полиномом степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Иначе говоря, получена задача Чебышёва, рассмотренная ранее. Искомый полином имеет на отрезке [a,b] корни

.

Оценка модуля полинома, наименее уклоняющего от нуля,

.

Оценка погрешности полинома Ньютона (Лагранжа) при использовании узловых точек, соответствующих корням полинома Чебышева, имеет вид

.