Устойчивость собственных значений и векторов

Рассмотрим две матрицы, A и . Собственные числа обеих матриц, в чем нетрудно убедиться, одинаковы. Собственные векторы матриц обозначим соответственно :

.

Для скалярных произведений и вычислим разность

.

Поскольку

, (5.3)

получаем:

.

Отсюда следует, что для различных собственных значений, , собственные векторы матриц A и взаимно ортогональны.

Представим выражение (5.1) в малых приращениях:

.

Это выражение скалярно умножим на :

. (5.4)

Для оценки устойчивости собственных значений в формуле (5.4) положим i = j:

.

Поскольку

,

получаем

,

.

Отсюда следует оценка

.

Величина

называется коэффициентом перекоса; - угол между векторами .

Далее будем предполагать, что матрица A симметрична[31], то есть , и все ее собственные числа различны. В этом случае собственные векторы матрицы А образуют в полную ортонормированную систему, которую можно использовать в качестве базиса. Очевидно, что для симметричных матриц . А значит, имеет место устойчивость собственных значений:

.

Для оценки устойчивости собственных векторов теперь рассмотрим случай . В силу формулы (5.3) следует

.

Используя это выражение и условие ортогональности векторов

,

из соотношения (5.4) получаем

,

.

Разложим вектор по базису :

.

Вычислим скалярное произведение

,

которое позволяет получить выражение для коэффициентов разложения :

.

В случае i = p за счет произвола в выборе длины собственных векторов можно положить . Теперь разложение вектора по базису имеет вид

.

Оценим приращение вектора :

,

.

Отсюда очевидно, что неустойчивость собственных векторов имеет место в случае, когда велики коэффициенты перекоса , либо близки собственные значения .

Пример 5.2. Рассмотрим матрицу A, указанную в примере 5.1. Нетрудно убедиться, что для транспонированной матрицы собственные числа остаются теми же, , а соответствующие собственные векторы определяются следующим образом:

,

.

Перемножим скалярно собственные векторы обеих матриц:

,

,

то есть имеет место ортогональность собственных векторов матриц A и ;

,

.

Подсчитаем коэффициенты перекоса:

,

.

Пример 5.3. Оценить влияние погрешности на результаты вычисления собственных значений матрицы

,

где e - малое возмущение (погрешность).

Решение характеристического уравнения

.

дает корни (собственные значения):

,

,

,

.

В табл. 5.1 приведены собственные значения исходной матрицы при различных величинах e.

Таблица 5.1

Определение собственных значений матрицы при заданных величинах погрешности