Сходимость интерполяционного процесса

Множество точек назовем сеткой на отрезке [a, b] и обозначим . Рассмотрим последовательность сеток Построим на отрезке [a,b] последовательность полиномов , аппроксимирующих с помощью сеток функцию y(x).

Интерполяционный процесс сходится в точке , если существует предел (определение поточечной сходимости).

Интерполяционный процесс сходится равномерно на отрезке [a, b], если

.

Теорема 4.1 (Фабера [26]). Какова бы ни была последовательность сеток , найдется непрерывная на [a,b] функция y(x) такая, что последовательность интерполяционных полиномов не сходится к y(x) равномерно на этом отрезке.

На рис. 4.1 приведен пример аппроксимации непрерывной функции f(x) = |x| на последовательности сеток с равноотстоящими узлами.

Рис. 4.1. Аппроксимация на отрезке [-1, 1] функции f(x) = |x| полиномами P_n, построенными с использованием равномерных сеток

На рис. 4.2 представлен график погрешности аппроксимации функции f(x) = |x| полиномамм на равномерных сетках в зависимости от числа отрезков сеточной области.

Рис. 4.2. Погрешность аппроксимация на отрезке [-1, 1] функции f(x) = |x| в зависимости от числа отрезков равномерной сетки.

Теорема 4.2. Если функция y(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая последовательность сеток, для которой интерполяционный процесс сходится равномерно на этом отрезке.

На рис. 4.3 приведен пример аппроксимации непрерывной функции f(x) = |x| на последовательности неравномерных (чебышевских) сеток. На рис. 4.4 представлен график погрешности аппроксимации функции f(x) = |x| полиномом P_n на чебышевской сетке в зависимости от числа отрезков сеточной области.

Рис. 4.3. Аппроксимация на отрезке [-1, 1] функции f(x) = |x| полиномами P_n, построенными с использованием чебышёвских сеток

Интерполяционный многочлен Эрмита [27]

Пусть заданы значения функции и некоторых ее производных в точках отрезка [a,b]. Если потребовать от полинома совпадения не только значений функции (4.1), но и значений производных в заданных точках, то интерполяция носит название эрмитовой, а сам полином обозначается как .

Построим полином согласно процедуре Ньютона. Далее начнем сближать, например, узлы и , которые в пределе совпадут, то есть появится кратный узел , что делает невозможным подсчет разделенной разности,

.

Однако с помощью предельного перехода можно установить, что

.

Рис. 4.4. Погрешность аппроксимация функции f(x) = |x| на отрезке [-1, 1] в зависимости от числа отрезков чебышёвской сетки.

Иными словами, первая разделенная разность, что уже отмечалось ранее, совпадает со значением первой производной в точке . Это будет означать также, что полином Эрмита позволяет правильно передавать значения производных.

Разделенные разности более высоких порядков определяются с учетом этого следующим образом:

,

.

Отсюда следует, что слияние трех узлов дает возможность интерполяции значений вторых производных, и так далее.

В общем случае имеет место формула:

.

Оценку точности аппроксимации выполним с ипользованием формулы (4.7):

,

где p - число точек интерполяции, - число значений функции и ее производных в точке . Такой выбор функции обеспечивает обращение в нуль не только g(s), но и ее производных .

На рис. 4.5 приведены приближения функции полиномами Эрмита H₃(x), H₅(x), H₇(x), H₉(x) (на рисунке аппроксимация H₉(x) практически совпадает с самой функций) и полиномом Лагранжа P₉(x) для отрезка [0, 25] на равномерных сеточных множествах.

Рис. 4.5. Графики интерполяционных полиномов Эрмита и Лагранжа