Свойства числовых последовательностей

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность { y_n }называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y 1 < y 2 < y 3 < …< y_n < y_n +1 < ….

Определение.Последовательность { y_n }называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y_n > y_n +1 > ….

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y 1 = 1; y_n = n 2\shad \shad0– возрастающая последовательность.

Пример 2. y 1 = 1; – убывающая последовательность.

Пример 3. y 1 = 1; – эта последовательность не является не возрастающей не убывающей.

Определение.Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T,что начиная с некоторого n, выполняется равенство y_n = y_n+T. Число T называется длиной периода.

Пример. Последовательность периодична с длиной периода T = 2.

3. Бесконечно большие и бесконечно малые, теорема связи.

Последовательность { х_n } называется бесконечно большой, если для как угодно большого любого положительного числа А существует номер N, зависящий от этого числа А, такой, что для всех последующих номеров n > N выполняется неравенство | x_n | > A:

Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, …, 1, n + 1, … не является бесконечно большой, поскольку при A > 1 неравенство | x _n| > A выполняется не для всех элементов x _n с нечетными номерами.
Последовательность {α_n} называется бесконечно малой, если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, зависящий от этого ε, такой, что для любых n > N выполняется неравенство |α_n| < ε:

Теорема 1. Если { х _n} — бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность

бесконечно малая, и, обратно, если {α_n} — бесконечно малая последовательность и все её члены отличны от нуля {α_n} ≠ 0, то последовательность { 1 / α_n } – бесконечно большая.
Доказательство. Пусть { х_n } — бесконечно большая последовательность. Возьмем любое как угодно малое положительное число ε > 0 и положим

Согласно определению для этого существует такой номер N, что при n > N будет | x_n | > A. Отсюда получаем, что

для всех n > N. А это значит, что последовательность

бесконечно малая.

Основные свойства бесконечно малых последовательностей:

-Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

-Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

-Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

4. Предел последовательности. Единственность. Арифметические действия.

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a - , a + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | u_n | M для всех n. Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (

Основные свойства пределов

Если { u_n } и { v_n } - две сходящиеся последовательности, то:

Если члены последовательностей { u_n }, { v_n },{ w_n }удовлетворяют неравенствам