Числовые множества. Точные верхняя и нижняя грани множества

Множество – совокупность некоторых объектов. Примерами множеств являются множества чисел, множества точек прямой, множество линий и др. Каждое отдельное множество задается правилом или законом, позволяющим судить, принадлежит объект данному множеству или нет.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

N={1; 2; 3;...; n;... } — множество натуральных чисел;

Zo={0; 1; 2;...; n;... } — множество целых неотрицательных чисел;

Z={0; ±1; ±2;...; ±n;...} — множество целых чисел;

Q={m/n: mÎZ,nÎN} — множество рациональных чисел.

R—множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

NÌ ZoÌ ZÌ QÌ R.

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, 1/2= 0,5 (= 0,500...), 1/3=0,333... — рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррационалъными.

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества X упорядоченного множества (или класса) M, называется наименьший элемент M, который равен или больше всех элементов множества X. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается sup X.

Более формально:

— множество верхних граней X, то есть элементов M, равных или больших всех элементов X

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества X упорядоченного множества (или класса) M, называется наибольший элемент M, который равен или меньше всех элементов множества X. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается inf X.

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли sup X и inf X множеству X или нет. В случае , говорят, что s является максимумом X. В случае , говорят, что i является минимумом X.