Предельный переход в неравенствах

Теорема 1. Пусть - сходящаяся последовательность и . Тогда .

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Обозначим . Тогда утверждение, противоположное доказываемому, имеет вид:

.

Возьмем . Тогда, по определению, предела последовательности, можно написать

.

Последнее неравенство распишем в виде двойного

Но так как , то и получается что , что противоречит условию теоремы.

Следствие. Если и сходящиеся последовательности и , то

.

Доказательство дается следующей цепочкой следствий

=> => =>

=>

Важное замечание. Допустим, что в условии теоремы вместо мы написали . Можно ли утверждать, что ?

Ответ отрицательный. Действительно, пусть, например, . Тогда , но .

Таким образом, итог этой теоремы и замечание выглядит так: в неравенствах допустим предельный переход, надо только иметь ввиду, что после предельного перехода строгое неравенство (типа > или <) может замениться на нестрогое

(> перейдет в , < перейдет в ).

Теорема 2. Пусть

1. и сходящиеся последовательности;
2. ;
3. 

Тогда также сходящаяся последовательность и .

Доказательство:

=>

или

=>

или .

Беря и учитывая, что можно записать

.

Выбрасывая лишнее, получим что

или ,

что и говорит о том, что .

Эту теорему часто называют “теоремой о двух милиционерах” (, - милиционеры, - преступник, которого они “берут в клещи”).

1. Первый и второй замечательные пределы.

Определение Первым замечательным пределом называется предел

Теорема Первый замечательный предел равен

Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме двусторонний предел также будет равняться 1. Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью (). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось. Рис.

Тригонометрический круг Пусть -- площадь треугольника , -- площадь кругового сектора , а -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная -- (это высота треугольника ), так что .

Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что .

Поэтому

Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так: или (умножив на ) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1. Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды .

Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству при , получаем, что

Простая замена переменной показывает, что и .

Теперь заметим, что . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

Тем самым показано, что Сделаем теперь замену ; при этом база перейдёт в базу (что означает, что если , то ).

Значит, но ( -- нечётная функция), и поэтому

Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы. Доказанная теорема означает, что график функции выглядит так: Рис.

График Приведём примеры применения первого замечательного предела для вычисления других родственных пределов.

Пример Вычислим предел . Очевидно, что при этом предел знаменателя -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,

Пример Вычислим предел . Сделаем замену переменного: пусть . Тогда и база переходит в базу . После замены получаем

Пример Вычислим предел . Очевидно, что при этом предел знаменателя был вычислен в предыдущем примере; он равен 1. Числитель правой части имеет предел 1. Применяя теорему о пределе отношения, получаем

Пример Вычислим предел . Преобразуем функцию под знаком предела следующим образом: Теперь вынесем постоянный множитель за знак предела и применим теорему о пределе произведения: (Чуть ниже мы увидим, что пределы сомножителей существуют, так что применять эту теорему здесь можно.) Заметим, что при заменах и база переходит в базу и , так что и Поэтому

Определение Вторым замечательным пределом называется предел

Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов. Теорема Второй замечательный предел существует. Его значение -- число, лежащее между и . Более подробное изучение числа показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы: Для доказательства теоремы 2.15 нам понадобится следующая лемма; формула, в ней полученная, называется формулой бинома Ньютона. Лемма Пусть и -- натуральное число. Тогда имеет место формула Заметим, что в дроби очевидно, сокращаются все сомножители в числителе и знаменателе, так что эта дробь равна 1. Аналогично, в предыдущем (не выписанном) слагаемом после сокращения получается коэффициент, равный , в третьем справа слагаемом -- равный , и т. д. Таким образом, коэффициенты в слагаемых, стоящих на одинаковых местах, считая слева и справа от края формулы, совпадают. Доказательство. Доказывать утверждение леммы будем по индукции по параметру . При формула 2.2, очевидно, верна: (Заметим, что при и формула 2.2 также хорошо известна: и Предположим, что она верна для , и докажем, что тогда она верна и при . Действительно, При этом в квадратных скобках получается: и так далее, то есть как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы бинома Ньютона при . Доказательство теоремы 2.15. Рассмотрим последовательность и применим к формулу бинома Ньютона при и . Получим Покажем, что последовательность ограничена сверху. Для этого заменим все дроби , ,..., на 1. Все эти дроби меньше 1, так что сумма в правой части формулы (Доказательство теоремы 2.15) увеличится: Далее, заменим все числа в знаменателях этих слагаемых на 2; от этого правая часть ещё увеличится. Получим: В правой части получилась сумма членов геометрической прогрессии. Она равна Поэтому что и означает ограниченность последовательности сверху числом 3. Покажем теперь, что последовательность не убывает. Действительно, запишем формулу (Доказательство теоремы 2.15) в виде В аналогичной формуле, написанной для вместо , во-первых, увеличится каждое из выражений в круглых скобках (так как вычитаемое уменьшится) и, значит, увеличатся все слагаемые, содержащие такие скобки. Во-вторых, число слагаемых увеличится на одно: добавится положительное слагаемое Следовательно, при росте номера члены последовательности строго возрастают: при всех . Применим теперь к возрастающей ограниченной сверху последовательности теорему о пределе монотонной ограниченной функции (теорема 2.13) и получим, что существует предел причём число не больше постоянной 3, ограничивающей последовательность. Осталось заметить, что . Так как все последующие члены ещё больше, то и предел , на основании теоремы о переходе к пределу в неравенстве, не меньше числа , что и завершает доказательство теоремы. Замечание Можно также показать, что (2.5) однако строгое доказательство достаточно тяжело, и мы его здесь пропускаем. В формуле (2.5) можно сделать замену , при этом база перейдёт в базу , и мы получим Упражнение 2. 6 Покажите, что имеют место также равенства и На этой основе, применяя теоремы о связи двусторонних пределов с односторонними, покажите, что и Формулы в этих замечании и упражнении представляют собою другую форму записи второго замечательного предела. Мы сохраним название второй замечательный предел за всеми этими формулами.

Пример Найдём предел . Здесь параметр -- фиксированное число. При вычислении предела он будет рассматриваться как постоянная. Сделаем замену , тогда и .

Поэтому (Здесь мы воспользовались, пока на интуитивном уровне, тем, что степенная функция непрерывна, то есть что . Более подробно понятие непрерывности функций мы будем изучать ниже, в разделе Использование непрерывности функций при вычислении пределов.) Полученная формула даёт нам возможность выразить экспоненциальную функцию как некоторый предел. С помощью похожей замены вычисляются пределы функций вида в случае, когда основание степени при некоторой базе стремится к 1, а показатель степени -- к бесконечности (то есть является бесконечно большой функцией при данной базе; о бесконечно больших см. ниже, в разделе Бесконечно большие величины и бесконечные пределы). Такие выражения, а также и связанные с ними пределы, называются неопределённостями вида . О неопределённостях других видов пойдёт речь ниже, после примера 2.29. Обратим внимание читателя, что -- это лишь условная запись: 1 здесь указывает, что основание степени стремится к 1 (и вовсе не обязательно равно 1); в "показателе степени" стоит вообще не число, а символ бесконечности. Поэтому было бы грубой ошибкой, встретив такую условную запись (или написав её), сделать вывод о том, что единица, мол, в любой степени даёт единицу, и поэтому ответ равен единице. С условными символами в этой записи нельзя действовать так же, как с числами. Предыдущий пример, в котором основание степени стремится к 1, а показатель степени к , даёт как раз неопределённость вида . Однако значение предела равно , а этот результат может быть любым положительным числом, в зависимости от того, какое значение взято. Вот ещё один пример на раскрытие неопределённости вида .

Пример Найдём предел .

Здесь основание степени имеет предел а показатель степени . Поэтому можно применять тот же приём сведения ко второму замечательному пределу, что в предыдущем примере.

Для начала найдём, что следует взять за бесконечно малую величину . Поскольку основание степени стремится к 1, то оно равно , где

. Значит,

Теперь преобразуем функцию, стоящую под знаком предела:

Выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет вид и при стремится к числу (это второй замечательный предел), а предел показателя степени мы найдём отдельно:

Поэтому (Мы воспользовались тем, что если и , то . Это следует из непрерывности показательной и логарифмической функций, если учесть, что .)

Замечание Не любые пределы величин вида вычисляются с помощью сведения ко второму замечательному пределу. Ещё раз напомним, что так надо поступать лишь в случае, когда основание степени при данной базе стремится к 1, а показатель степени -- к бесконечности. В иных ситуациях можно бывает для вычисления предела обойтись более простыми рассуждениями. Например, при нахождении предела можно заметить, что основание степени стремится к , так что получается формально . Это выражение не является неопределённостью (в отличие от выражения ), так как основание степени при достаточно больших близко к (и заведомо меньше, скажем, ) и при возведении в неограниченно увеличивающуюся степень будет меньше и, следовательно, будет стремиться к 0. Так что и прибегать к помощи второго замечательного предела не пришлось.

1. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Сравнение. Символы О и о.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

1. Функция f(x) =(x -1)² является бесконечно малой при x →1, так как (см. рис.).
2. Функция f(x) = tg x – бесконечно малая при x →0.
3. f(x) = ln (1+ x)– бесконечно малая при x →0.
4. f(x) = 1/ x – бесконечно малая при x →∞.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Доказательство.

1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|< ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .
2. Если , то при любом ε >0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначим f(x) – b= α, то |α(x)|< ε, а это значит, что a – бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε > 0 найдется δ> 0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ, выполняется |f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε > 0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ₁ > 0, что при |x – a|< δ₁ имеем |α(x)|< ε / 2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ₂ > 0, что при |x – a|< δ₂ имеем | β(x)|< ε / 2.

Возьмем δ=min{ δ₁, δ₂ }. Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε / 2 и | β(x)|< ε / 2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α(x)+β(x) | ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε /2 + ε /2= ε,

т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε > 0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε /M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε /M = ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c= const, то .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть . Тогда 1 /f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

Сравнение бесконечно малых

Пусть y=f₁(x) и y=f₂(x) – некоторые две функции, а x стремится к некоторому x ₀ (конечному или бесконечному). Если при этом f₁(x)→0 и f₂(x)→0, то есть если

Это значит, что f₂(x) несравненно меньше f₁(x) при x→x ₀ (f₂(x) несравненно быстрее, чем, стремится к нулю при x→x ₀). В этом случае говорят, что функция f₂(x) является бесконечно малой функцией более высокого (высшего) порядка малости, чем функция f₁(x), при x→x ₀. И обозначают этот факт так:

(читается: f₂(x) есть «о малое» от f₁(x) при x→x ₀). Суть записи (4.3) состоит, как сказано выше, в том, что бесконечно малая функция f₂(x) является бесконечно малой частью другой бесконечно малой функции f₁(x) при x→x ₀.

Вариант 2:

Это значит, что при x→x ₀ бесконечно малые функции f₁(x) и f₂(x) практически не отличаются друг от друга. В этом случае говорят, что функция f₂(x) эквивалентна (равносильна) функции f₁(x) при x→x ₀. И обозначается это так:

В этом случае говорят, что бесконечно малые при x→x ₀ функции f₁(x) и f₂(x) – одного порядка малости. И записывают этот факт так:

Решение. Эквивалентность (4.5) означает выполнение предельного равенства (4.4). Поэтому для подтверждения эквивалентностей (а)-(ж) вычислим необходимые пределы (4.4) и покажем, что все они равны 1:

Итак, все эквивалентности (4.10) доказаны.

Бесконечно большие и сравнение

Пусть

то есть функции y=f₁(x) и y=f₂(x) при x→x ₀ по абсолютной величине стремятся к бесконечности. Тогда они называются бесконечно большими при x→x ₀.

Сравнивают бесконечно большие функции по тому же принципу, что и бесконечно малые. А именно:

1) Если

то функция f₂(x) называется бесконечно большой функцией низшего порядка роста, чем бесконечно большая функция f₁(x). А функция f₁(x) – соответственно высшего порядка роста, чем f₂(x).

В частности, очевидно, что функции y=x; y=x ²; y=x ³; y=e^x являются бесконечно большими при x →+ ∞, причем каждая последующая из них – высшего порядка роста, чем предыдущая. И вообще, можно доказать (см. главу 4, §4), что любая степенная функция y=xⁿ (n> 0) при x →+ ∞ является бесконечно большой функцией низшего порядка роста, чем любая показательная функция y=a^x (a >1). То есть

Доказательство. Учтем, что (4.18) равносильно (4.17), и вычислив соответствующие пределы, убедимся, что все они равны 1:

Символы О и о (все что нашла по символам)

Сравнение б.м. и б.б. функций. Символы O,o

f,g определенны в некоторой проколотой окрестности x0

Пишут , если

.

Аналогично определяется O при xx0+0, xx0 - 0, x, x.

Пример: f(x)=O(1),x означает локальную ограниченность функции в .

Опр. Если при xx0, f(x)=O (g) и g(x)=O (f), то f(x), g(x) называются функциями одного порядка.

Пример: Функции x3,x2 являются функциями одного порядка при x1.

Определение o. Пусть f(x), g(x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x0, пишут f(x)=o(g(x)), xx0, если

  б.м. (x) при xx0, такая, чтоx :f(x)=(x)g(x)

Аналогично определяется o при xx0+0, xx0 - 0, x, x.

Пример: f(x)=o (1), при xx0 означает, что f(x) б.м. при xx0.

Некоторые примеры работы с символами o (подразумевается x0).

o(xn)  o(xn)= o(xn)

xm o(xn) = o(xn+m)

c o(xn) = o(xn) (c-константа)

o(xn)  o(xn+p)= o(xn), здесь p натуральное.

o(xn+p)/xp= o(xn) В частности, o(xp)/xp= o(1).

o(an xn an+1 xn+1… an+p xn+p)= o(xn)

Если , б.м. и =o(), то говорят, что  б.м. более высокого порядка, чем .

Определение. Функции f(x), g(x) называются эквивалентными в x0 (говорят так же, в окрестности x0), если выполнено хотя бы одно из двух условий

f(x)=g(x)+o(g(x)), xx0

g(x)=f(x)+o(f(x)), xx0.

Условие эквивалентности записывается в виде fg, при xx0.

Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, то будет выполнено и второе.

Замечание 2. Эти условия можно записать в другой форме. Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство f(x)=h(x)g(x), =1.

Замечание 3. Если, например, g(x)0, то первое условие можно записать в виде .

Определение. Если f(x)  (x-x0)n при xx0, то f(x) называется бесконечно малой порядка n при xx0.

Если f(x)  при xx0, то f(x) называется бесконечно большой порядка n при xx0.

Если f(x) б.б. при x и f(x) эквивалентна xn при x, то f(x) называется бесконечно большой порядка n при x.

Замечание. Если f(x) б.м. порядка n, то 1/f(x) будет б.б. порядка n и наоборот.

Примеры. Определить характер функций , в 0, 1,+.

При вычислении пределов полезна следующая теорема

Т2. Пусть f эквивалентна f1, g эквивалентна g1 при xx0.

Если существует предел , тогда существует и .

Если существует предел , тогда существует и .

Опр. Если , то g называется главной частью f при x x0.

1. Непрерывность и типы разрыва. Устранимая особая точка.

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .

Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения.

а) Вспоминая понятие предела, запишем непрерывность f(x) в точке х0 в виде

б) Так как х₀=lim x, то непрерывность в точке х₀ можно записать в виде

Отсюда следует важнейшее свойство непрерывной функции: для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предельного перехода

в) Обозначим Dx=x-x₀ (приращение аргумента) и Df=f(x)-f(x₀) (приращение функции). Тогда непрерывность в точке х₀ означает, что , т.е. бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.

Введем обозначения:

если эти пределы существуют.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ слева (справа) если f(x₀)=f(x₀ – 0) (f(x₀)=f(x₀+0)). Очевидно,что непрерывность в точке х₀ означает непрерывность слева и справа одновременно.

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества, т.е. если

Обратите внимание, где стоит квантор , это важно.

Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке х₀, то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв.