Краткая теория. Задачами нелинейного программирования называются задачи математического программирования, в которых нелинейны и (или) целевая функция

Задачами нелинейного программирования называются задачи математического программирования, в которых нелинейны и (или) целевая функция, и (или) ограничения в виде неравенств или равенств.

Задачи нелинейного программирования можно классифицировать в соответствии с видом функции F(x), функциями ограничений и размерностью вектора х (вектора решений).

В самом общем виде классификация представлена в таблице.

Вид F(x)	Вид функции ограничений	Число переменных	Название задачи
Нелинейная	Отсутствуют		Безусловная однопараметрическая оптимизация
Нелинейная	Отсутствуют	Более 1	Безусловная многопараметрическая оптимизация
Нелинейная или линейная	Нелинейные или линейные	Более 1	Условная нелинейная оптимизация

Общих способов решения, аналогичных симплекс-методу линейного программирования, для нелинейного программирования не существует.
В каждом конкретном случае способ выбирается в зависимости от вида функции F(x).
Задачи нелинейного программирования на практике возникают довольно часто, когда, например, затраты растут не пропорционально количеству закупленных или произведённых товаров.

Задачи нелинейного программирования относятся к трудным вычислительным задачам. При их решении часто приходится прибегать к приближенным м етодам оптимизации. Мощным средством для решения задач нелинейного программирования являются численные методы. Они позволяют найти решение задачи с заданной степенью точности.

Общая формулировка нелинейных задач:

Найти переменные х₁ , х₂, …, х_n, удовлетворяющие системе уравнений

Ψ (х1 , х2, …, хn) = bi , i = 1, 2, …, m

(1)

и обращающие в максимум (минимум) целевую функцию

Z = f (х1 , х2, …, хn)

(2)

Примером типичной и простой нелинейной задачи является следующая:
Данное предприятие для производства какого-то продукта расходует два средства в количестве х₁ и х₂ соответственно. Это факторы производства, например, машины и труд, два различных сырья и т.п., а величины х₁ и х₂ – затраты факторов производства. Факторы производства впредь будем считать взаимозаменяемыми. Если это «труд» и «машины», то можно применять такие методы производства, при которых величина затрат машин в сопоставлении с величиной затрат труда оказывается больше или меньше (производство более или менее трудоемкое).

Объем производства (выраженный в натуральных или стоимостных единицах) является функцией затрат производства Z = f (х₁ , х₂). Эта зависимость называется производственной функцией. Издержки зависят от расхода обоих факторов (х₁ и х₂) и от цен этих факторов (c₁ и c₂). Совокупные издержки выражаются формулой b = c₁ х₁ + c₂ х₂. Требуется при данных совокупных издержках определить такое количество факторов производства, которое максимизирует объем продукции Z.

Математическая модель этой задачи имеет вид: определить такие переменные х₁ и х₂, удовлетворяющие условиям

c1 х1 + c2 х2 = b

(3)

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0,

(4)

при которых функция

Z = f (х1, х2)

(5)

достигает максимума. Как правило, функция (5) может иметь произвольный нелинейный вид.

Использую классические методы оптимизации, следует четко представлять себе различие между локальным экстремумом функции, глобальным экстремумом и условным экстремумом. Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных n не меньше 2 (n ≥ 2). Будем полагать, что функция Z = f (х₁ , х₂, …, х_n) = f (X) дважды дифференцируема в точке Х* = (х₁ *, х₂ *, …, х_n*), (Х* € D(f)) и в некоторой ее окрестности.

Если для всех точек Х этой окрестности f (X*) ≥ f (X) или f (X*) ≤ f (X), то говорят, что функция f (X) имеет экстремум в X* (соответственно максимум или минимум).

Точка X*, в которой все частные производные функции Z = f (Х) равны 0, называется стационарной точкой.